圆锥曲线专题之蒙日圆讲义-2024届高三数学一轮复习

蒙日圆 定义：在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，这个圆叫蒙日圆。 椭圆的蒙日圆方程为： 双曲线的蒙日圆方程为： 定理1. 椭圆 的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆： . 证法一： 若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时，可得点P的坐标是,或满足要求. 当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，设点P的坐标为,因此设过点P的切线方程为,由得：. 因为直线与椭圆相切，所以其判别式的值为0,得 . 因为是这个关于k的一元二次方程的两个根， 所以，因此（是椭圆第三定义）.进而可得. 拓展 椭圆与双曲线第三定义 平面内的动点到两定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹，叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于－1小于0时为椭圆；当常数大于0时为双曲线。 结论： （1）椭圆上A、B两点关于原点对称，P为A 、B外的任意一点，则直线AP、BP的斜率、满足 （2）双曲线上A、B两点关于原点对称，P为A 、B外的任意一点，则直线AP 、BP的斜率、满足. 备注结论与中点弦结论相同，中点弦结论：椭圆的一条弦的斜率与其中点与原点联线的斜率的乘积为 证法二： 当两条相互垂直的切线有一条斜率不存在、另一条斜率为0时，可得点P的坐标为，或。 当两条相互垂直的切线的斜率均存在且均不为0时，设点P的坐标是，所以可设两个切点分别是。 得直线，切线，切线。 所以： ， （注：其次化处理：在解决斜率的和和积相关问题较为常用） 因为点既在曲线又在直线AB：上，所以 所以 由此可得：（两直线垂直，斜率之积为-1） 进而得证. 椭圆的光学性质 预备性质： 椭圆)的左、右焦点分别是，点P为椭圆上一点，则有： （1）椭圆Γ在点P处的切线平分焦点三角形的外角； （2）过点P且垂直于切线的直线PM交x轴于点M，PM平分 证明 如图2所示，设P为椭圆(其左、石焦点分别是)上任意给定的点，过点P作的外角平分线所在的直线.先证明和相切于点P,只要证明上异于P的点P'都在椭圆的外部，即证； 在直线上选取点F',使,得,所以,得 再过点P作的平分线,易得,入射角等于反射角，这就证得 了预备性质成立. 引理1从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射（切线PN为镜面，PM为法线）后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。 引理2 过椭圆Γ（其中心是点O，长半轴长为a）的任一焦点F作椭圆Γ的任意切线l的垂线，设垂足是H，则|OH|=a。 证明：如图所示，设点分别为椭圆Γ的左、右焦点，P是椭圆Γ的切线上的切点，又设直线、交于点Q。 由引理1，得（即反射角与入射角的余角相等），进而可得，所以点H是得中点，得OH是的中位线。又，所以 引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和 证明：平行四边形ABCD中，，所以 引理4 设点P是矩形ABCD所在平面上一点，则 证明“由引理3得： 即 同理可得： 在矩形ABCD中 所以： 拓展性质： 定理2.（1）双曲线的两条互相垂直得切线交点得轨迹圆是； （2）抛物线的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线. 定理3.（1）椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是. （2）双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是. 定理4.过椭圆上任意一点作椭圆的两条切线，则 （1） 当时，所作的两条切线互相垂直； （2） 当时，所作的两条切线斜率之积是； 定理5.（1）椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是： 1） 当时，即圆（但要去掉四个点）； 2） 当且时，即椭圆（但要去掉四个点）； 3） 当时，即两条直线在椭圆外的部分（但要去掉四个点）； 4） 当时，即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点） 5） 当时，即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点） （2）双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是： 1）当时，即圆； 2）当时，即双曲线 3）当时，即椭圆； 4）当时，不存在； （3）抛物线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是： 1）：当时，即直线； 2）：当时，的方程为. 拓展：仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间. 椭圆的仿射变换：C→ ⊙O1 ；C→ ⊙O2 性质：仿射变换前后 （1）直线与圆锥曲线的位置关系不变(即相交、相切不变)； （2）对应图形的面积比不变； （3）对应直线的斜率比不变； （4）两平行线段或共线线段的比不变(三点共线的比不变)； 作用：化椭为圆在解决面积最值问题中常用 了解：椭圆的面积公式S=πab可通过仿射变换求出 例题1．已知椭圆的一个焦点为