防范易错专栏（一）-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

易错点1　混淆直线是曲线“在某点”与“过某点”的切线 [防范秘诀] 曲线“在某点”处的切线是以该点为切点的直线，它只有一条；“过某点”的切线，该点一定在直线上，但不一定在曲线上，作出的切线可能不止一条． [对点补救] 1．已知函数f(x)＝x3－2x，则f(x)在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　 ) A． B． C． D． C　[因为f(x)＝x3－2x，所以f′(x)＝3x2－2， 所以f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝3－2＝1， 所以f(x)在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为.] 2．若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　) A．eb<a B．ea<b C．0<a<eb D．0<b<ea D　[设过点(a，b)的切线与曲线y＝ex切于点P(t，et)，对函数y＝ex求导得y′＝ex，所以曲线y＝ex在点P处的切线方程为y－et＝et(x－t)，即y＝etx＋(1－t)et，由题意可知，点(a，b)在直线y＝etx＋(1－t)et上，所以b＝aet＋(1－t)et＝(a＋1－t)et，过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则方程b＝(a＋1－t)et有两个不同的实根，令f(t)＝(a＋1－t)et，则f′(t)＝(a－t)et.当t<a时，f′(t)>0，此时函数f(t)单调递增，且f(t)>0，当t>a时，f′(t)<0，此时函数f(t)单调递减，所以f(t)max＝f(a)＝ea，如图所示，当直线y＝b与曲线y＝f(t)的图象有两个交点时，当0<b<ea时，直线y＝b与曲线y＝f(t)的图象有两个交点．故选D．] 易错点2　用错导数公式或运算法则 [防范秘诀] 1．幂函数y＝xα与指数函数y＝ax的形式相近，导数公式却有很大区别，解题时易混淆导致计算错误． 2．导数的乘法与除法法则的形式较特别，使用时一定记清形式与符号，以免出错． [对点补救] 3．函数f(x)＝3x＋ln 2的导数为(　　 ) A．3xln 3 B．3xln 3＋ C．3x＋ D．3x A　[f′(x)＝(3x)′＋(ln 2)′＝3xln 3.故选A．] 4．已知函数f(x)＝－2xex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为 ． 解析：　f′(x)＝－2ex－2xex， 所以f′(1)＝－2e－2e＝－4e. 答案：　－4e 易错点3　对复合函数求导时因层次不清致误 [防范秘诀] 1．对较复杂函数求导时，先判断该函数是否为复合函数． 2．若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清楚内层函数和外层函数，合理设元． [对点补救] 5．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)等于(　　 ) A．0 B．60 C．－1 D．－60 B　[∵f(x)＝(1－2x3)10，∴f′(x)＝(1－2x3)′×10(1－2x3)9＝－60x2(1－2x3)9. ∴f′(1)＝－60(1－2)9＝60，选B．] 6．函数y＝e－2x＋1cos(－x2＋x)的导数为 ． 解析：　∵y＝e－2x＋1cos(－x2＋x)， ∴y′＝(e－2x＋1)′cos(－x2＋x)＋e－2x＋1[cos(－x2＋x)]′ ＝－2e－2x＋1cos(－x2＋x)＋(－2x＋1)e－2x＋1[－sin(－x2＋x)] ＝－e－2x＋1[2cos(－x2＋x)＋(2x－1)sin(x2－x)]． 答案：　－e－2x＋1[2cos(－x2＋x)＋(2x－1)sin(x2－x)] 防范易错强化练(一) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．设y＝x2ex，则y′等于(　　 ) A．x2ex＋2x B．2xex C．(2x＋x2)ex D．(x＋x2)·ex C　[y′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，选C．] 2．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于(　　 ) A．64 B．32 C．16 D．8 A　[y′＝－x－，∴y′|x＝a＝－a－，所以在点(a，a－)处的切线方程为y－a－＝－a－(x－a)，即y＝－a－x＋a－，令x＝0，则y＝a－；令y＝0，则x＝3a，所以S＝×3a×a－＝＝18，解得a＝64.] 3．设曲线f(x)＝asin(－x)－ln(x＋1)在(0，0)处的切线方程为y＝x，则a的值为(　　) A．－2 B．1 C．2 D．3 A　[依题意，曲线f(x)＝－asin x－ln(x＋1)，求导得：f′(x)＝－acos x－，则f′(0)＝－a－1，因为曲线y＝f(x)在(0，0