防范易错专栏（四）-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

易错点1　空间位置关系的向量证明法 [防范秘诀] 空间平行与垂直的向量证明方法：1.证明线面平行：线的方向向量与面的法向量点乘为零，线在面内导致出错.2.证明线面垂直：①线的方向向量与面的法向量平行；②线的方向向量与面内的两不共线向量垂直，进而得到线线垂直，然后用线面垂直的判定定理下结论，容易忽略几何法导致步骤不严谨失分． [对点补救] 1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，E是棱BC的中点，则在棱CC1上存在点F，使得(　　) A．AF∥D1E B．AF⊥D1E C．AF∥平面C1D1E D．AF⊥平面C1D1E B　[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E(，1，0)， 设F(0，1，z)(0≤z≤1)， 则＝(，1，－1)，＝(－1，1，z)， 因为≠，所以，不可能平行，即AF，D1E不可能平行， 当·＝－＋1－z＝0时，z＝，因此，可以垂直，即AF与D1E可能垂直． C1(0，1，1)，＝(0，1，0)， 设平面C1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝2，则n＝(2，0，1)， 与n不可能平行，因此AF与平面C1D1E不可能垂直， ·n＝－2＋z∈[－2，－1]，因此与n不可能垂直，因此AF与平面C1D1E不可能平行， 故选B．] 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 B　[建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量n＝(0，1，0)． ∵A1M＝AN＝，∴M(a，，)，N(，，a)， ∴＝(－，0，)．∵·n＝0， ∴MN∥平面BB1C1C， 故选B．] 易错点2　线面角的向量求法 [防范秘诀] 线面所成角的正弦值是线的方向向量与面的法向量所成角的余弦值的绝对值，和异面直线所成角、面面所成角的余弦值的对应关系不同导致出错． 学生用书第72页 [对点补救] 3．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE的夹角为(　　) A． B． C． D．π B　[以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，E(0，1，)，A1(1，0，1)， ∴＝(1，1，0)，＝(0，1，)，＝(0，1，－1)， 设平面BDE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝－1，z＝2， 所以平面BDE的一个法向量为n＝(1，－1，2)， ∵＝(0，－1，1)， ∴cos〈，n〉＝＝，∵〈，n〉∈[0，π]， ∴〈，n〉＝， ∴直线A1B与平面BDE的夹角为. 故选B．] 4．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD上的点，满足PQ∥平面AC1D1，则PQ与平面BDD1B1所成角的范围是 ． 解析：　以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，1)． 设平面AC1D1的法向量n＝， 则取x＝1，得n＝(1，0，1)． 设P(0，1，t)，Q(a，b，0)，a，b，t∈[0，1)，＝λ，0≤λ<1，所以(a，b，0)＝(λ，λ，0)， 所以Q(λ，λ，0)，＝(λ，λ－1，－t)， 因为PQ∥平面AC1D1， 所以·n＝λ－t＝0，即t＝λ， 所以＝(λ，λ－1，－λ)， 显然AC⊥平面BDD1B1，所以平面BDD1B1的一个法向量为＝(－1，1，0)． 设PQ 与平面BDD1B1所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，0≤λ<1； 所以当λ＝时，(sin θ)max＝＝，此时θ＝， 当λ＝1时，(sin θ)min＝＝，此时θ＝， 所以PQ 与平面BDD1B1 所成角的范围是. 答案：　 易错点3　二面角的向量求法 [防范秘诀] 二面角与面面角的概念不同导致出错：二面角的范围是[0，π]，而面面角的范围是，所以二面角的向量求法的步骤，先求面面成角，观察图形看二面角是锐角还是钝角，然后下结论(如果看不出二面角是锐角还是钝角，注意两个半平面法向量的指向，进而确定锐角或钝角)． [对点补救] 5．如图，锐二面角α­l­β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，则锐二面角α­l­β的平面角的余弦值是(　　) A．