防范易错专栏（三）-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

易错点1　空间向量的加减运算 [防范秘诀] 在空间几何体中相等向量与相反向量的区分：大小是否相等，方向是否相反，导致出错． [对点补救] 1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列命题中正确的是(　　) A．＋与＋是一对相等向量 B．－与－是一对相反向量 C．－与－是一对相等向量 D．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D　[A．取AD，B1C1的中点M，N，则：＋＝2，＋＝2，两者不是一对相等向量； B．－＝，－＝，两者是一对相等向量； C．－＝，－＝，两者是一对相反向量； D．设底面ABCD，A1B1C1D1的中心分别为P，Q，则：＋＋＋＝，＋＋＋＝，两者是一对相反向量．故选D．] 2．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果＝＋7＋6－4，那么点M必(　　 ) A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内 C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内 C　[因为＝＋7＋6－4＝＋＋6－4 ＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，所以M，B，A1，D1四点共面，故选C．] 易错点2　空间向量的数量积 [防范秘诀] 求空间向量的数量积的方法：(1)数量积公式的直接应用：向量的夹角导致出错；(2)找出基向量(看基向量的模及其夹角已知或易求)，线性表示出所求向量，代入公式计算：运算量大导致出错． 学生用书第57页 [对点补救] 3．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD­A1B1C1D1所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则|BD1|＝(　　 ) A．－1 B．－1 C． D．－ C　[如图：∵＝－＋， ∴2＝(－＋)2 ＝2＋2＋2－2·－2·＋2· ＝1＋1＋1－2×1×1×cos 45°－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60° ＝3－， ∴||＝， 故选C．] 4．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为 ． 解析：　∵a·b＝0，且a，b，c均为单位向量， ∴|a＋b|＝＝＝＝， 又∵|c|＝1，∴c2＝1， ∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2＝1－(a＋b)·c. 设a＋b与c的夹角为θ， 则(a－c)·(b－c)＝1－|a＋b||c|cos θ ＝1－cos θ. 故(a－c)·(b－c)的最小值为1－. 答案：　1－ 易错点3　用空间中的一组基表示向量 [防范秘诀] 用一组基表示向量的策略：(1)若基向量确定，则充分利用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则以及数乘向量的运算律表示向量：向量的方向导致出错；(2)若没有设定基向量，首先选择基向量，选择基向量时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量． [对点补救] 5．在三棱柱A1B1C1­ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝(　　 ) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．－a＋b＋c D　[由于D是四边形BB1C1C的中心， 则＝(＋)＝(＋＋)＝－a＋b＋c.故选D．] 6．如图，在三棱锥O­ABC中，点D是棱AC的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　 ) A．a－b＋c B．a＋b－c C．a－b＋c D．－a＋b－c A　[因为＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 因此＝－＝－＋ ＝a－b＋c.故选A．] 防范易错强化练(三) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为(　　 ) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 C　[如图，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°. ＝(a＋b)，＝c， ∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.] 2．已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长均相等，E是BC的中点，那么(　　 ) A．·<· B．·＝· C．·>· D．·与·的大小不能比较 C　[取BD的中点F，连接EF，则EF綊CD，因为〈，〉＝〈，〉>90°，·＝0，·<0，所以·>·.] 3．如图，设＝a，＝b，＝c，若＝，＝3，则＝(　　) A．a＋b－c B．－a－b＋c C．a－b－c D．－a＋b＋c A　[由＝，得＝，由＝3，得＝， 所以＝＋＝＋＝(b－c)＋(a－b)＝a＋b－c， 故选A．] 4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　 ) A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1 C　[如图，＝＋