单元检测卷(一) 导数及其应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

单元检测卷(一)　导数及其应用 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知函数f(x)＝－2x＋ln x，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　 ) A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．2x－y＋1＝0 C　[∵f(x)＝－2x＋ln x， ∴f′(x)＝－－2＋，则f′(1)＝－2， 又f(1)＝－1， ∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0. 故选C．] 2．已知函数f(x)＝aln x＋bx2的图象在点(1，f(1))处的切线方程为5x＋y－2＝0，则a＋b的值为(　　 ) A．－2 B．2 C．3 D．－3 A　[由f(x)＝aln x＋bx2，得f′(x)＝＋2bx， ∵函数f(x)＝aln x＋bx2的图象在点(1，f(1))处的切线方程为5x＋y－2＝0， ∴即 ∴a＋b＝－2. 故选A．] 3．函数f(x)＝(x＋1)ex的单调递增区间是(　　 ) A．(－∞，2) B．(0，2) C．(－2，0) D．(－2，＋∞) D　[f′(x)＝(x＋2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞－2， 故f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 故选D．] 4．若函数f(x)＝x3＋ax2－9在x＝－2处取得极值，则a＝(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[∵f(x)＝x3＋ax2－9，∴f′(x)＝3x2＋2ax， 又f(x)在x＝－2时取得极值，∴f′(－2)＝12－4a＝0，∴a＝3. 故选B．] 5．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)＝N02－，其中N0为t＝0时钍234的含量．已知t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为－8ln 2，则N(96)＝(　　 ) A．12贝克 B．12ln 2贝克 C．24贝克 D．24ln 2贝克 C　[由N(t)＝N02－可得： N′(t)＝N02－×ln 2×(－)， 当t＝24时，N′(24)＝N02－×ln 2×(－)＝－8ln 2， 解得N0＝2×8×24＝384， 所以N(t)＝384·2－，当t＝96时， N(96)＝384·2－＝384·2－4＝24， 故选C．] 6．已知实数a＞0，且a≠1，函数f(x)＝ 在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　 ) A．2≤a≤5 B．a＜5 C．3＜a＜5 D．1＜a≤2 A　[∵函数f(x)在R上单调递增， ∴当x＜1时，有a＞1； 当x≥1时，f′(x)＝2x－＋＝≥0恒成立， 令g(x)＝2x3＋ax－4，x∈[1，＋∞)，则g′(x)＝6x2＋a， ∵a＞0，∴g′(x)＞0，即g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝2＋a－4＝a－2， 要使当x≥1时，f′(x)≥0恒成立，则a－2≥0，解得a≥2. ∵函数f(x)在R上单调递增，∴还需要满足a1≤1＋＋aln 1，即a≤5， 综上，a的取值范围是2≤a≤5. 故选A．] 7．定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＋f′(x)＜0，则下列关系正确的是(　　 ) A．f(1)＜＜ B．f(－1)＜＜ C．＜f(1)＜ D．＜＜f(－1) A　[令g(x)＝exf(x)， 则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]＜0， g(x)在R上单调递减， 故g(1)＜g(0)＜g(－1)， 即ef(1)＜f(0)＜， 故f(1)＜＜， 故选A．] 8．若关于x的不等式aex(x＋1)－x2＜0的解集中恰有两个正整数解，则a的取值范围为(　　 ) A． B． C． D． D　[由不等式aex(x＋1)－x2＜0可得a(x＋1)＜，设直线y＝a(x＋1)，函数f(x)＝， 依题意，有且仅有两个正整数使得直线y＝a(x＋1)的图象在函数f(x)＝的图象的下方， 而f′(x)＝＝， 易知函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增，且y＝a(x＋1)恒过定点(－1，0)， 作出函数f(x)的图象及直线y＝a(x＋1)的图象如下， 由图可知，解得≤a＜. 故选D．] 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．) 9．给出下列四个命题： ①f(x)＝x3－3x2是增函数