防范易错专栏（二）-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

易错点1　忽视导数为零的情况致误 [防范秘诀] f′(x)>0⇒函数y＝f(x)为增函数，但反之，当函数y＝f(x)是增函数时，f′(x)≥0(f′(x)＝0的根有限个)，此处常会因漏掉导数等于零的情况致误． [对点补救] 1．若函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上为单调增函数，则m的取值范围是(　　) A．[－24，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－3] D．(－∞，0] C　[由函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上为单调增函数， 可得f′(x)＝3x2＋6x－m≥0在[－2，2]上恒成立， 即m≤3x2＋6x在[－2，2]上恒成立， 即m≤(3x2＋6x)min， 令t＝3x2＋6x＝3(x＋1)2－3，x∈[－2，2]． 所以当x＝－1时，tmin＝－3. 所以m≤－3.故选C．] 2．若不等式|ax3－ln x|≥1对∀x∈(0，1]恒成立，则实数a的取值范围是 ． 解析：　|ax3－ln x|≥1对∀x∈(0，1]恒成立， 等价于ax3－ln x≥1或ax3－ln x≤－1， 即a≥，记f(x)＝， 或a≤，记g(x)＝， f′(x)＝＝， 由f′(x)＝0，得ln x＝－，即x＝e－. 由f′(x)>0，得0<x<e－，此时函数单调递增； 由f′(x)<0，得x>e－，此时函数单调递减， 即当x＝e－时，函数f(x)取得极大值，同时也是最大值， 且f(e－)＝＝＝e2， 此时a≥e2. 若a≤，因为当x＝1时，＝－1，所以当a>0时，a≤不恒成立． 综上，a≥e2. 即实数a的取值范围是. 答案：　 易错点2　由极值求参数时因未检验致误 [防范秘诀] 可导函数在x0处的导数为0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件，故已知极值求参数时，由f′(x)＝0求出的参数的值要进行检验，否则易出错． [对点补救] 3．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝ ． 解析：　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，函数取得极值10，则 解得或 当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7. 答案：　－7 4．设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a<b B．a>b C．ab<a2 D．ab>a2 D　[令f(x)＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f(x)的两个零点， 当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图(1)所示， 则0<a<b； 当a<0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图(2)所示， 则b<a<0.综上，ab>a2.故选D．] 防范易错强化练(二) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　 ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3，1) D　[y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)， 由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1， 故函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(－3，1)．] 2．函数f(x)＝x3－2x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为(　　 ) A．y＝x B．y＝2x－1 C．y＝x＋2 D．y＝x－2 D　[∵f(x)＝x3－2x， ∴f′(x)＝3x2－2， ∴f′(1)＝1，f(1)＝－1， ∴函数f(x)＝x3－2x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝1×(x－1)， 即y＝x－2，故选D．] 3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　 ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 A　[因为y′＝2x＋a，由题意知，2×0＋a＝1， 所以a＝1， 又点(0，b)在切线上，解得：b＝1.故选A．] 4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则(　　 ) A．a<－1 B．a>－1 C．a>－ D．a<－ A　[∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. ∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， ∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.] 5．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则