第22章二次函数 二次函数与几何图形综合 复习学案2023-2024学年人教版九年级数学上册

二次函数与几何图形综合（郭、周） 类型1　利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题 以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上→点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积． 例1．如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长． 1．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D. (1)求二次函数的表达式； (2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值． 2．如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． 类型2　二次函数图象与“线段之和最短”问题 如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决． 例2．如图，已知抛物线y＝(x＋2)(x－4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)设动点N(－2，n)，求使MN＋BN的值最小时n的值． 1．如图，已知抛物线y＝－(x＋2)(x－m)(m>0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧． (1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值； (2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标． 2．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3. (1)求抛物线的解析式． (2)点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过B(1，0)，C(3，0). (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的对称轴； (3)点P是对称轴上一点，当PA＋PB达到最小值时，求点P的坐标． 4.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)．请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)点E(2，m)在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长． 题型3：利用二次函数解决图形面积的最值问题 例3.如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与两坐标轴分别交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标； (2)F(x，y)是抛物线上的动点，当x>1，y>0时，求△BDF面积的最大值． 1.如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，﹣2)三点． (1)求此抛物线的解析式 (2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． 　 题型4：探究二次函数中存在性问题 名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题． 例4.如图，抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称. (1)求点A，B，C的坐标; (2)求直线BD的解析式; (3)在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使△PBD的面积最大?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 练习1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，OB＝OA，且∠AOB＝120°. (1)求点B的坐标．[来源:Z#xx#k.Com] (2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式． (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． (第1题) 2.如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长； (3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若