精品解析：北京市清华大学附属中学奥森分校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

高二第一学期期中试卷 数学 （清华附中将台路校区高22级） 满分150分考试 时长120分钟 一､选择题（本大题共10道小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 已知空间两点，1，，，2，，下列选项中的与共线的是（ ） A. ，0， B. ，1， C. ，， D. ，2， 2. 已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 若数组，1，和，，满足，则实数等于（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A. B. C. D. . 5. 如图，空间四边形中，，点分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，现有下列命题：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知是两个不同的平面，的一个充要条件是（ ） A. 内有无数条直线平行于 B. 存在平面 C. 存在平面，且 D. 存在直线 8. 已知，则最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 5 9. 已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 10. 以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①： ②是等边三角形； ③三棱锥是正三棱锥； ④平面平面． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 3个 C. 2个 D. 4个 二､填空题（本大题共5道小题，每小题5分，共25分.请把正确答案写在答题纸中横线上.） 11. 已知点都在直线上，写出一个直线的法向量：__________. 12. 直线方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量为，，，则、、的值依次为__________. 13. 在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有__________.（写出两个，多写不加分，写错扣分） 14. 一个圆柱和一个圆锥底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 . 15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①平面截正方体所得的截面图形是五边形； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是__________． 三.解答题（本大题共6道小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 16. 已知向量． （1）求； （2）若向量与垂直，求实数的值． 17. 如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点． （1）求证：∥平面; （2）求证：平面平面． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角D（锐角）的余弦值. 19. 如图，在直三棱柱中，，，是中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 21. 记所有非零向量构成的集合为，对于，定义， （1）若，求出集合中的三个元素； （2）若，其中，求证：一定存在实数，且，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二第一学期期中试卷 数学 （清华附中将台路校区高22级） 满分150分考试 时长120分钟 一､选择题（本大题共10道小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 已知空间两点，1，，，2，，下列选项中的与共线的是（ ） A. ，0， B. ，1， C. ，， D. ，2， 【答案】D 【解析】 【分析】由题得，1，，再利用空间向量共线定理判断得解. 【详解】解：由点，1，，，2，， 所以，1，， 对于A，，0，，不满足，所以与不共线； 对于B，，1，，不满足，所以与不共线； 对于C，，，，不满足，所以与不共线； 对于D，，2，，满足，所以与共线． 故选：D 2. 已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是