5.3 什么是几何证明 课件 2023--2024学年青岛版数学八年级上册

第5章 几何证明初步 5.3 什么是几何证明 学习目标 了解基本事实、定理的意义，掌握本节中提出的基本事实； 了解除了基本事实外，命题的真实性必须经过证明； 初步了解几何证明的三个步骤，通过例题了解几何证明的书写格式，知道证明要合乎逻辑，感受证明过程中的每一步推理都要有依据. 新课导入 上节课我们学习了为什么要证明，那么，怎样用推理的方法证实一个命题是真命题呢？ 在前面的学习中我们接触了很多基本事实，如“两点确定一条直线”，那么，具体来讲，哪些命题可以作为基本事实呢？ 新知探究 我们从已经了解的数学命题中，挑选出一部分人们通过长期实践总结出来，被大家所公认的命题作为基本事实，用基本事实作为证实所有其他几何命题的起始依据. 我们已经学习过哪些基本事实了呢？ （1）两点确定一条直线; （2）两点之间，线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直； （4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行; （5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； （7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； （8）三边分别相等的两个三角形全等； （9）等式的基本性质以及将来要学到的不等式的基本性质. 在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.用符号表示即:“如果a=b，b=c，那么a=c”， “如果a＞b，b=c，那么a ＞ c”，这一性质也看作基本事实，称为“等量代换”. 上节课我们学习了为什么要证明，那么，怎样用推理的方法证实一个命题是真命题呢？ 推理的过程叫做证明. 由基本事实、定义、已证实的结论及已知条件出发 通过推理的方法加以证实 怎么证明命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的真实性呢？ 1.先分清命题的的条件和结论; 2.把语言文字叙述的条件和结论“翻译”成图形语言和符号语言. 条件 结论 图形语言 如图，∠AOC与∠BOD是对顶角， ∠AOC=∠BOD 符号语言 怎么证明命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的真实性呢？ 已知：如图，∠AOC与∠BOD是对顶角， 求证：∠AOC=∠BOD 证明： ∵∠AOC与∠BOD是对顶角（已知）. ∴∠AOC+∠AOD=180°， ∠AOD+∠BOD=180°（平角的定义）. ∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD（等量代换）. ∴∠AOC=∠BOD（等式的基本性质）. “∵”读作“因为”， “∴”读作“所以”. 我们把经过推理得到证实的真命题叫做定理，定理可作为证明其他命题真假的依据. 刚刚我们证实的定理称为对顶角的性质定理，简单说成：对顶角相等. 【例】求证：同角的余角相等. 已知：如图，∠1与∠α互余， ∠2与∠α互余. 求证： ∠1=∠2. 依据题意，画出图形 结合图形,根据条件、结论，写出已知、求证. 已知：如图，∠1与∠α互余， ∠2与∠α互余. 求证： ∠1=∠2. 证明： ∵∠1与∠α互余(已知)， ∴∠1+∠α=90°（余角的定义）. ∴∠1=90°－∠α（等式的基本性质）. 又∵∠2与∠α互余. （已知）， ∴∠2+∠α=90°（余角的定义）. ∴∠2=90°－∠α （等式的基本性质） . ∴∠1=∠2(等量代换). 几何证明的过程 （1）根据题意，画出图形. （2）结合图形,根据条件、结论，写出已知、求证. （3）找出由已知推出求证的途径，写出“证明”. “已知”是命题的条件,“求证”是命题的结论. 在图中要标出必要的字母和符号. 证明过程按照“前因后果”的次序书写. 课堂练习 1.下列命题中，不是基本事实的是( ) A.如果a=b，b=c，那么a=c B.等量加等量，和相等 C.等量减等量，差相等 D.对顶角相等 D 2.阅读，并在每步后的括号内填写该步推理的依据. 已知：如图，B，C是线段AD上的两点，且AB=CD. 求证：AC=BD. 证明：∵AB=CD （ ） ∴AB+BC=CD+BC（ ） ∴AC=BD（ ） 已知 等式的性质 线段和的定义 3.如下图，已知AB∥CD，∠1=∠2.求证：∠E=∠F. 证明：如图，连接BC. ∵AB∥CD（已知）， ∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）， 即∠1+∠EBC=∠2+∠FCB. 又∵ ∠1=∠2（已知）， ∴∠EBC=∠FCB（等式的基本性质）. ∴EB∥CF（内错角相等，两直线平行）. ∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）. 课堂小结 1.相关概念 我们把人们通过长期实践总结出来，被大家所公认的命题作为基本事实. 在等式或不等式中,一个量可以用它