3.1.3 函数的奇偶性【8大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

3.1.3 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的定义 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。 偶函数的性质：，可避免讨论． 二、奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 三、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 3、性质法： 设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集 4、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 四、函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用。 1、由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。 2、由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得 （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出. 五、函数奇偶性与单调性的综合应用 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； 2、区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值； 3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较。 注意：由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响。 题型一 函数奇偶性的判断 【例1】（2023秋·青海西宁·高一校考阶段练习）下列函数中是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）函数的奇偶性是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式1-2】（2023秋·山西晋中·高三校考阶段练习）（多选）下列函数为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022秋·山东枣庄·高一校考期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 题型二 利用奇偶性求函数值 【例2】（2023秋·全国·高一专题练习）设为上的奇函数，且当时，，则（ ） A．12 B． C．13 D． 【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且，则 . 【变式2-2】（2022秋·山东枣庄·高一校考期中）已知与分别是定义在上的奇函数和偶函数，并且，则（ ） A．2 B． C． D． 【变式2-3】（2023秋·陕西汉中·高三校联考阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A． B． C． D． 题型三 奇函数+常数型求值 【例3】（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（ ） A．3 B．1 C．-1 D．-5 【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）已知函