4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

4 ．2 等差数列 ► 对应学生用书 P8 4 ．2. 1 等差数列的概念 第 1 课时 等差数列的概念及通项公式 课程标准 核心素养 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和 通项公式的意义. 2 ．体会等差数列与一元一次函数的关系. 1.数学抽象：理解等差数列的定义，会推导等 差数列的通项公式. 2 ．数学运算：能运用等差数列的通项公式解 决简单问题. 3 ．逻辑推理：会证明一个数列是等差数列. 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. [提醒] (1)概念的符号表示：an －an－1 ＝d(n ≥2)； (2)定义中强调“从第 2 项起 ”， 因为第一项没有前一项； (3)差必须是同一个常数； (4)公差可以是正数、负数、零； (5)当 d>0 时，是递增数列， 当 d＝0 时，是常数列， 当 d<0 时，是递减数列. 二、等差中项 由三个数 a ，A ，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项，且 2A ＝a＋b . [提醒] (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一； (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即 A ＝ ； (3)a3 是 a1 和 a5 的等差中项. 三、等差数列的通项公式 首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列{an }的通项公式为 an ＝a1＋(n－1)d . [拓展延伸] 等差数列的通项公式与函数的关系 若数列{an }是等差数列，首项为 a1 ，公差为 d，则 an＝f(n) ＝a1＋(n－1)d ＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y ＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为 d，在y 轴上的截距为 a1－d； (2)这些点的横坐标每增加 1 ，函数值增加 d. 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”, 错误的打“ × ”). (1)数列 6 ，4 ，2 ，0 是公差为 2 的等差数列．( ) (2)数列 a ，a－1 ，a－2 ，a－3 是公差为－1 的等差数列．( ) (3)等差数列的通项公式一定能写成 an ＝kn＋b 的形式(k，b 为常数).( ) (4)数列{2n＋1}(n ∈N*)是等差数列．( ) 答案：(1)× (2) √ (3) √ (4) √ 2 ．下列各数列中首项为零的等差数列是( ) A.an ＝2n B ．an ＝2(n－1) C ．an ＝2n D ．an ＝2n－ 1 解析：选 B.A 项，首项为 2；B 项，该数列首项为 2(1－1) ＝0 ，符合题意 ；C 项，首项 为 2；D 项，首项为 1. 3 ．(多选)下列数列中，是等差数列的是( ) A ．1 ，4 ，7 ，10 B ．lg 2 ，lg 4 ，lg 8 ，lg 16 C ．25 ，24 ，23 ，22 D ．10 ，8 ，6 ，4 ，2 解析：选 ABD.A ，B ，D 项满足等差数列的定义，是等差数列； C 中， 因为 24－25 ≠23－24 ≠22－23 ，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. 4 ．在等差数列{an }中，若 a2 ＝4 ，a4 ＝2 ，则 a6 ＝ ． ( a 4 ＝ a 1 ＋ 3 d ＝ 2 ， a 1 ＝ 5. )解析： 由题意知， a2 ＝a1＋d ＝4 ， 解得d ＝－1 ， ∴a6 ＝a1＋5d＝0. 答案：0 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一 等差数列的概念 【例 1】 判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项 a1 和公差 d. ①1 ，3 ，5 ，7 ，9 ， …； ②9 ，6 ，3 ，0 ，－3 ， …； ③1 ，3 ，4 ，5 ，6 ， …； ④7 ，7 ，7 ，7 ，7 ， …； ⑤1， ， ， ， ， …. 解：①是，a1 ＝1 ，d ＝2；②是，a1 ＝9 ，d ＝－3；③不是；④是，a1 ＝7 ，d ＝0；⑤不是. [总结] 利用定义法判断等差数列 从第 2 项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数， 则是等差数列，