5.1.2 导数的概念及其几何意义-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

5．1.2　导数的概念及其几何意义 [学习目标] 知识层面 1.了解函数的平均变化率．　2.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．　3.理解导数的几何意义，会根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程．　4.了解导函数的概念. 素养层面 通过对导数概念及其几何意义的认识，提升数学抽象的素养；通过导数几何意义的应用，提高数学运算、逻辑推理的素养. 知识点一　函数的平均变化率 问题1.对比上节课中平均速度的概念，一般情况下，函数y＝f(x)的平均变化率如何理解？ 提示：如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上kAB＝＝. 另外，从图形上看，它代表割线AB的斜率． 平均变化率：对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． [微提醒]　平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f(x)图象上的两点(x0，f(x0))与(x0＋Δx，f(x0＋Δx))所在直线的斜率． 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01； (2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解：(1)因为Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx， 所以＝－4.9Δx－3.3. ①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. (2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 规律方法 求函数平均变化率的三个步骤 第一步(求自变量的改变量)：Δx＝x2－x1； 第二步(求函数值的改变量)：Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步(求平均变化率)：＝. 对点练1.求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． 解：函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 学生用书↓第61页 知识点二　导数的概念 问题2.类比平均速度与瞬时速度的关系，试问瞬时变化率如何定义？ 提示：瞬时变化率为 ＝ . 导数的概念 条件 当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限 结论 称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率) 记法 记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝__ [微提醒]　对导数概念的再理解 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关．(3)导数的实质是一个极限值．(4)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价． (链教材P65例1)求函数y＝x－在x＝1处的导数． 解：因为Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，所以＝＝1＋， 所以 ＝ ＝2. 从而y′|x＝1＝2. 规律方法 1．利用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 2．瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． 对点练2.(1)若函数f(x)在x＝1处的导数为1，则 ＝(　　) A．2 B．1 C． D． (2)已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)根据导数的定义， ＝f′(1)＝1.故选B． (2)由题意知， ＝－ ＝－f′(3)＝2， 所以f′(3)＝－2.故选B． 对点练3.利用导数的定义，求函数y＝＋2在x＝1处的导数． 解：因为Δy＝－＝， 所以y′|x＝1＝ ＝ ＝－2. 学生用书↓第62页 知识点三　导数的几何意义 问题3.导数f′(x0)的几何意义是什么？ 提示：我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图． 容易发现，平均变化率＝表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线，因此函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)，这就是导数的几何意义． 1．导数的几何意义 如图，割线P0P的斜率k＝．记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0， 即k0＝ ＝f′(x0)． 2．切线方程 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 (2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　 ) 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是在点A，B处切线的斜率，由图象可知，f′(xA)<f′(xB)．故选B． (2)函数f(x)的导函数f′(x)在[a，b]上是增函数，若对任意x1和x2满足a<x1<x2<b，则有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)，根据导数的几何意义，可知函数y＝f(x)的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象，只有A选项符合．故选A． 规律方法 理解导数几何意义中的两个关键点 关键点一：y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f′(x0)＞0；k＜0⇔f′(x0)＜0；k＝0⇔f′(x0)＝0. 关键点二：|f′(x0)|越大⇔在x0处瞬时变化越快；|f′(x0)|越小⇔在x0处瞬时变化越慢． 对点练4.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2) C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2) 答案：B 解析：由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，因为＝a，所以f′(1)<a<f′(2)．故选B． 知识点四　导函数(导数) 问题4.我们知道，求函数某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？ 提示：能．这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f′(x0)＝ 可知 f′(x)＝ ，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数． 导函数的定义：从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 学生用书↓第63页 [微思考]　f′(x)与f′(x0)有何关系？ 提示：f′(x)是f(x)的导函数，f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是f′(x)在x＝x0时的函数值． 求函数y＝(x>－1)的导函数． 解：令f(x)＝，则f′(x)＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 规律方法 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤 第一步：确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； 第二步：计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 第三步：当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝ . 对点练5.已知函数f(x)＝x2－x.求f′(x)． 解：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx， 所以＝2x＋Δx－. 所以f′(x)＝ ＝2x－ 求曲线的切线方程 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1，1)的切线方程． 解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，所以切点P(1，1)． y′|x＝1＝ ＝ ＝ 3＋3Δx＋(Δx)2＝3. 所以k＝y′|x＝1＝3.所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，y0)， 则y′|x＝x0＝ ＝ ＝3x＋3x0·Δx＋(Δx)2＝3x， 由题意可知kPQ＝y′|x＝x0， 即＝3x，又y0＝x，所以＝3x， 即2x－3x＋1＝0，解得x0＝1，或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为，k1＝y′|x＝－＝，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0. [变式探究] 1．(变设问)本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 解：由解得或 从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)， 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一个公共点(－2，－8)． 2．(变条件)把题中条件“y＝x3”改成“y＝x3＋1”，求曲线过点(1，1)的切线方程． 解：＝ ＝ ＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2， 则 ＝3x2，因此y′＝3x2. 设过点M(1，1)的直线与曲线y＝x3＋1相切于点P(x0，x＋1)， 根据导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率为k＝3x①， 过点M和点P的切线的斜率k＝②， 由①②得3x＝，解得x0＝0，或x0＝， 所以k＝0，或k＝， 因此过点M(1，1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线有两条，方程分别为y－1＝(x－1)，或y＝1，即27x－4y－23＝0，或y＝1. 学生用书↓第64页 规律方法 利用导数的几何意义求切线方程的方法 1．若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 2．若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． [注意]　对于“过点P(x0，y0)的切线”，无论点P在不在曲线上，都要设切点坐标． 对点练6.已知曲线y＝x3＋. (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程． 解：(1)因为P(2，4)在曲线y＝x3＋上， 所以曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k＝ ＝ ＝4. 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A， 则切线的斜率为k＝ ＝x， 所以切线方程为y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋. 因为点P(2，4)在切线上， 所以4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0， 所以x＋x－4x＋4＝0， 所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1，或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0. 知识 1.函数的平均变化率.2.导数的概念.3.导数的几何意义.4.导函数的概念 方法 定义法、极限法、方程思想、数形结合法 易错 误区 对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．切线过某点，这点不一定是切点 1．函数f (x)＝x在区间[0，1]上的平均变化率为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案：B 解析：＝＝1.故选B． 2．(2024·上海高二期末)已知f(x)是定义在R上的可导函数，若 ＝，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C．1 D． 答案：A 解析：f′(2)＝ ＝－2 ＝－2×＝－1.故选A． 3．某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(　　) 答案：A 解析：根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C、D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B． 故选A． 4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：D 解析：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，所以＝x＋Δx＋1，所以f′(x)＝ ＝x＋1.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，所以x0＝2.故选D． 课时测评16　导数的概念及其几何意义 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 答案：C 解析：＝＝＝4＋2Δx.故选C． 2．(2024·广东江门高二期中)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　) A．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) 答案：A 解析：由函数f(x)的图象可知：当x≥0时，f(x)单调递增，所以f′(1)>0，f′(2)>0，f′(3)>0，因为随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，所以f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选A． 3．某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特殊情况时需在2 s内完成刹车，其位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系式为s(t)＝－t3－2t＋，则关于s′(1)的实际意义，下列说法中正确的是(　　) A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的瞬时加速度 答案：C 解析：由导数的实际意义可知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度，则s′(1)为汽车刹车后1 s时的瞬时速度，所以C正确，A、B、D错误．故选C． 4．如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　) A．－4 　　　　 B．3 C．－2 　　　　 D．1 答案：D 解析：直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0，则f(2)＝2.又由题意可知，f′(2)＝－1，所以f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.故选D． 5．(多选)(2024·辽宁鞍山高二期末)设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则－f′(2)＝(　　) A． B． C． D． 答案：BC　 解析：因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以 ＝－ ＝－f′(2)，故B正确；又因为 ＝－ ＝－f′(2)，故C正确．故选BC． 6．(多选)在曲线y＝x3－x＋1的所有切线中，斜率的可能取值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：BCD 解析：因为y＝x3－x＋1，所以k＝ ＝x2－1.当x＝0时，k有最小值－1，故只要k≥－1即可．故选BCD． 7．函数y＝(x－1)2的导数是__________________. 答案：2(x－1) 解析：y′＝ ＝ ＝ ＝2x－2＝2(x－1)． 8．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________． 答案：3 解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3. 9．过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程为________________． 答案：y＝0，或27x－y－54＝0 解析：因为f(x)＝x3，设切点(x0，x)．则k＝ ＝[3x＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3x，所以在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x(x－x0)，把点(2，0)代入并解得x0＝0，或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝0；当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，整理为27x－y－54＝0.所以直线l的方程为y＝0，或27x－y－54＝0. 10．(10分)一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义． 解：因为＝＝＝3， 所以f′(2)＝ ＝3.f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s. (11—13每题5分，共15分) 11．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 答案：B 解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4.故选B． 12．已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率 B．f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率 C．对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 D．存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 答案：D 解析：因为f(x)在a到b之间的平均变化率是，g(x)在a到b之间的平均变化率是，又因为f(b)＝g(b)，f(a)＝g(a)，所以＝，所以A、B错误；易知函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，即函数f(x)在该点处的切线的斜率，同理可得，函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，即函数g(x)在该点处的切线的斜率，由题中图象可知，当x0∈(a，b)时，函数f(x)在x＝x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x＝x0处切线的斜率，也有可能小于g(x)在x＝x0处切线的斜率，故C错误，D正确．故选D． 13．(多选)若直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则(　　) A．a＝－1 B．b＝3 C．k＝2 D．f′(1)＝3 答案：ABC 解析：依导数定义可求得，由此解得f′(1)＝k＝2，故D错误．故选ABC． 14．(10分)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程． 解：因为y′＝ ＝ ＝2x＋1，所以y′|x＝1＝3， 所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3， 设直线l2与曲线相切于点P(x0，x＋x0－2)， 则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)． 因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－，x0＝－， 所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0. 15．(5分)(新情境)德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)＞0，∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有＜f，则下列选项正确的是(　　) A．f(π)＜f(e)＜f(2) B．f′(π)＞f′(e)＞f′(2) C．f′(2)＜f(2)－f(1)＜f′(1) D．f′(1)＜f(2)－f(1)＜f′(2) 答案：C 解析：因为∀x1，x2∈R(x1≠x2)，总有＜f，所以y＝f(x)的图象是向上凸起的，如图所示．所以f(2)＜f(e)＜f(π)，故A错误；因为f′(x)反映了函数f(x)图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f′(π)<f′(e)<f′(2)，故B错误；f(2)－f(1)＝，表示点A(1，f(1))与B(2，f(2))连线的斜率，由图可知f′(2)<kAB＜f′(1)，故C正确，D错误．故选C． 16．(15分)试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大． 解：当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝. 当自变量从变到＋Δx时，函数的平均变化率为k2＝＝. 由于是在x＝0和x＝附近的平均变化率，故可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负． 当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，即k1＞k2； 当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝. 因为Δx＜0，所以Δx－＜－， 所以sin ＜－， 从而有sin ＜－1， sin ＋1＜0，所以k1－k2＞0，即k1＞k2. 综上可知，正弦函数y＝sin x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率． 学生用书↓第65页 学科网（北京）股份有限公司 $$