专题2-6 阿基米德三角形与焦点三角形内切圆-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题2-6 阿基米德三角形与焦点三角形内切圆 目录 知识点梳理 2 阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 2 阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 3 题型一 阿基米德焦点三角形 5 2023届·黄冈中学5月二模·T6 5 2023届·武汉市武昌区五月质检T16 5 山东省济南市2022届高三二模 5 2023届成都七中高三月考 6 2024届嘉兴市九月统考T15 6 题型二 常规型阿基米德焦点三角形 6 安徽省2023届高三A10联盟二模 6 2024届·广东省四校第一次联考 8 2023届·黑龙江哈师大附中校考 8 2023·深圳市二模 8 广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题 8 题型三 双曲线焦点三角形的内切圆 9 湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二) 9 安徽省（九师联盟）2023届二模 10 山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评 10 长沙市雅礼中学2022-2023高三月考 10 湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题 11 题型四 双曲线焦的两个焦点三角形与两个内切圆 12 重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考（七）数学试题 12 2023·安徽淮北·一模 13 2023·长沙周南中学三模 13 题型五 椭圆的焦点三角形的内切圆 15 2023届·浙江省重点中学拔尖学生培养联盟6月适应性考试 15 2023·长郡中学押题卷 15 2023·汕头金山中学三模 16 2023·湖北襄阳五中5月模拟 17 知识点梳理 阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1：MF⊥AB；性质2：MA⊥MB；性质3：MN∥x轴；性质4：S△ABM最小值为p² 对于点A，B: ①抛物线焦点弦与抛物线的交点 ②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点 对于点M ③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点，④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点 满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形” 阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 【性质 1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴． 【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线 记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点 半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则，下略 【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点. 设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标 【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为. 【性质5】， 重点题型·归类精练 题型一 阿基米德焦点三角形 2023届·黄冈中学5月二模·T6 1． 设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2023届·武汉市武昌区五月质检T16 2． 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____ 山东省济南市2022届高三二模 3． （多选）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. C. △NAB面积的最小值为6 D. 若直线AB的斜率为，则 4． 已知动圆过点，且与直线相切，记动圆的圆心轨道为，过上一动点作曲线的两条切线，切点分别为，直线与轴相交于点，下列说法不正确的是（    ） A．的方程为 B．直线过定点 C．为钝角（为坐标原点） D．以为直径的圆与直线相交 5． 已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C．2 D．3 2023届成都七中高三月考 6． 过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么= . 2024届嘉兴市九月统考T15 7． 已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率 ． 8． （多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4 题型二 常规型阿基米德焦点三角形 安徽省2023届高三A10联盟二模 9． （多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D．以为直径的圆过点 2