专题5-3 平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题5-3 平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算 目录 奔驰定理和四心的性质及证明 3 奔驰定理以及四心的向量式 4 题型一 四心的识别 5 题型二 奔驰定理 8 题型三 四心的相关计算 9 题型四 奔驰定理与四心的综合题 12 技巧一．四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点． 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为． 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故． 技巧三．三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 技巧四．常见结论 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 奔驰定理和四心的性质及证明（全） 【重心】：若O为△ABC重心 （1）； （2）； （3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 （4）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 （5）重心坐标为：. 【垂心】：若O为△ABC垂心 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 （4） （5）. 【内心】：若O为△ABC内心 （1） （2） （3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心 （4） 【外心】：若O为△ABC外心 （1）； （2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； （3）若，则是的外心； （4）； （5）. 奔驰定理以及四心的向量式 证明：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 【奔驰定理与三角形四心向量式】 1、是的重心 2、是的内心 3、是的外心 4、是的垂心 重点题型·归类精讲 题型一 四心的识别 1. 已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 1. 已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的( ) A.外心 B．内心 C．重心 D．垂心 1. 若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件 ,则O是△ABC的（　） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 1. 若O在△ABC所在的平面内,且满足以下条件 ,则O是△ABC的（　） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【四心之垂心】 1. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 1. 是所在平面上一点，若，则是的( ) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 1. 若为所在平面内一点，且 则点是的( ) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【四心之重心】 1. 已知是所在平面上的一点，若，则是的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 1. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的( ). A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 1. O是△ABC所在平面内一点，动点P满足， ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 【四心之外心】 1. 已知是所在平面上一点，若，则是的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 1. 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )。 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 1. 是所在平面上一点，若，则是的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 题型二 奔驰定理 1. 已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______ 1. 已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 1. 设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则的面积为___________． 1. 已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ） A． B