专题7-1 解三角形大题第一问专练·13个类型练到位（有筛选，会带点难度）-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题7-1 解三角形大题第一问专练·共13个类型 目录 高考真题回顾与梳理 3 2023·新高考一卷T17（1）：出现了3个角时拆角 3 2022·新高考二卷T18（2）：式子变形后出现了三边的平方余弦 4 2019·全国Ⅲ卷高考真题：出现两角之和变为第三个角 4 题型一 正弦定理+和差公式 6 类型1 出现了3个角（拆角，正向使用和差公式） 6 类型2 反向使用和差公式 7 类型3 拆角后再用辅助角公式合并求角 9 题型二 用余弦定理 10 类型1 出现了边的平方 10 类型2 出现角的余弦（正弦走不通） 12 题型三 多解问题分析 15 题型四 通过诱导公式统一函数名 16 题型五 降幂，半角，二倍角 17 类型1 半角降幂扩角 17 类型2 余弦二倍角转变为1元二次方程 18 题型六 切化弦 18 题型七 判断三角形的形状或验证角度之间的关系 20 题型七 遇到两角之和化为第三个角 22 一、基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，， (2)，，； ； ； . （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）二倍角公式 ， 二、相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理（结合诱导公式）： ① 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列. （3）2倍角公式的扩角降幂 .， 忘记了可以用二倍角公式推导:记， 则 故， 高考真题回顾与梳理 2023·新高考一卷T17（1）：出现了3个角时拆角 已知在中，，求. 【答案】 【详解】， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 2022·新高考二卷T18（2）：式子变形后出现了三边的平方余弦 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，求的面积. 【答案】 【分析】先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； 【详解】由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则 2019·全国Ⅲ卷高考真题：出现两角之和变为第三个角 的内角的对边分别为，已知，求 【答案】 【详解】[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为． 由诱导公式得，所以． 在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. 重点题型·归类精讲 题型一 正弦定理+和差公式 类型1 出现了3个角（拆角，正向使用和差公式） 1． 在中，，求的值 【答案】 【详解】因为，所以由正弦定理可得 因为，所以，因为，所以. 2． △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，求C. 【答案】 解：因为，在△ABC中，由正弦定理得， ，又因为， 所以 展开得 因为sinA≠0，故 又因为，所以 3． （2023·湛江一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A. 【答案】 【详解】， 所以，故． 由正弦定理得，又， 所以， 故， ，，所以，即，，故． 类型2 反向使用和差公式 4． （2023·重庆二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，求角 【答案】(1) 【详解】因为， 所以， 即, 由正弦定理得， ， ，即，且， 所以，，则 5． （2024届·广州·阶段练习）已知中角，，的对边分别为，，，满足，求的值 【答案】 【分析】已知等式利用正弦定理边化角,或利用余弦定理角化边,化简可求的值； 【详解】（1）解法一：由，得． 由正弦定理得， 所以， 由于，所以，则． 因为，所以，． 因为，所以． 解法二：由，得． 所以由余弦定理得， 化简得，即， 因为，所以． 6． （2023届·荆门三校5月联考）在中，角所对的边分别为，且，求. 【答案】 【详解】因为， 所以，即， 由正弦定理得， 所以， 即， ，则，故， 即，也即，， 所以. 类型3 拆角后再用辅助角公式合并求角 7． （2023届·深圳市一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A. 【答案】 点评：拆角+辅助角公式 【解析】（1）由已