3.3 函数的应用(一)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

3.3　函数的应用(一) 课程标准 学科素养 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 通过对函数的应用(一)的学习，提升“数学建模”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． [对应学生用书P69] 电信局为了满足客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(min)之间的关系如图所示(实线部分).(注：图中MN∥CD)试问： (1)若通话时间为2 h，按方案A，B应各付话费多少元？ (2)方案B从500 min以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？ 解：由题图可知，M(60，98)，N(500，230)，C(500，168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则 fA(x)＝ fB(x)＝ (1)通话2 h，两种方案的话费分别为116元，168元． (2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18 ＝＝0.3(元)(n＞500)， 所以方案B从500 min以后，每分钟收费0.3元． (3)由题图知，当0≤x≤60时，有fA(x)＜fB(x). 当x≥500时，fA(x)＞fB(x)， 当60＜x＜500时，由fA(x)＞fB(x)，得x＞， 即当通话时间在时，方案B比方案A优惠． 1．一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图像是一条直线． (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解． 2．分段函数模型应用的两个注意点 (1)分段对待：分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值． (2)原则：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏 [训练1]　为方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示： (1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡更便宜． 解：(1)由图像可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x. 由点B(30，35)，C(30，15)分别在y1＝f(x)和y2＝g(x)的图像上，可得30k1＋29＝35，30k2＝15. 所以k1＝，k2＝. 所以通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式为 y1＝x＋29，y2＝x. (2)令y1＝y2，得x＋29＝x.解得x＝. 所以当x＝时，两种卡的收费相同； 令y1＞y2，得x＋29＞x，解得x＜. 所以当x＜时，使用“如意卡”便宜； 令y1＜y2，得x＋29＜x，解得x＞. 所以当x＞时，使用“便民卡”便宜． 综上，当用户在一个月内的通话时间为 min时，两种卡收费相同；当用户在一个月内的通话时间小于 min时，使用“如意卡”便宜；当用户在一个月内的通话时间大于 min时，使用“便民卡”便宜． 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值； (3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围． 解：(1)据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为，故空闲率为1－， 由此可得y＝kx(1－)，(0<x<m). (2)对原二次函数配方，得 y＝－(x2－mx)＝－＋， 即当x＝时，y取得最大值. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量， 即0<x＋y<m. 因为当x＝时，ymax＝， 所以0<＋<m，解得－2<k<2. 又因为k>0，所以0<k<2.即k的取值范围为(0，2). [变式]　若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”，又如何表示出y关于x的函数关系式？ 解：据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为，故空闲率为1－，因为羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝(0<x<m). 利用二次函数求最值的方法及注意点 方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． 注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． [训练2]　据市场分