3.2 第2课时 函数零点的存在性及应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

第二课时　函数零点的存在性及应用 [对应学生用书P67] 求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1). 解：由于f(－2)＝－1<0， f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点的值 中点函数近似值 (－3，－2) －2.5 1.25 (－2.5，－2) －2.25 0.062 5 (－2.25，－2) －2.125 －0.484 4 (－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8 (－2.25，－2.187 5) －2.218 75 －0.077 1 由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1， 所以函数的一个近似负零点可取－2.25. [变式]　只将本例中的“负”改为“正”呢？ 解：由于f(2)＝－1<0，f(3)＝4>0，故取区间[2，3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点 中点函数值 [2，3] 2.5 1.25 [2，2.5] 2.25 0.062 5 [2，2.25] 2.125 －0.484 4 [2.125，2.25] 2.187 5 －0.214 8 [2.187 5，2.25] 2.218 75 －0.077 1 根据上表计算知，区间[2.187 5，2.25]的长度是0.062 5<0.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值．所以其近似值可以为2.187 5. 利用二分法求函数近似零点应关注三点 (1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小． (2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间． (3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算． 已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0.求a为何值时： (1)方程有一正一负根； (2)方程两根都大于1. 解：令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1. (1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图像只有如图①、②两种情况． 因此f(x)＝0有一正一负根等价于 解得0<a<1. 所以0<a<1时，方程有一正一负根． (2)方程两根都大于1时，f(x)对应的图像只有如图③、④两种情况． 因此f(x)＝0两根都大于1，等价于或 解得a∈∅. 所以不存在实数a，使方程两根都大于1. 解决有关一元二次方程根的分布问题应关注以下几点 (1)转化为相应的二次函数问题，并画出符合题意的函数的大致图像． (2)结合图像考虑以下四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式(组). (4)由得到的不等式(组)去验证图像是否符合题意． 这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时要注意条件的完备性． [变式]　本例已知条件不变，求a为何值时： (1)方程有唯一实根； (2)方程一根大于1，一根小于1. 解：(1)令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1. 当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即x＝－，符合题意； 当a≠0时，Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)＝0，所以a＝－. 所以当a＝0或a＝－时，方程有唯一实根． (2)因为方程有一根大于1，一根小于1. f(x)的大致图像如图⑤、⑥. 所以必须满足或解得a>0. 所以当a>0时，方程有一根大于1，一根小于1. [对应学生用书P68] 1．(多选题)已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是(　　) x 1 2 3 5 f(x) 3 －1 2 0 A.(1，2)　　　　　　　　　 B．(1，3) C．(2，5) D．(3，5) 答案：ABC 2．函数f(x)＝x3＋3x－2的零点所在区间为(　　) A．(0，) B．(，) C．(，) D．(，1) 答案：C 3．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则(　　) A．k＝0 B．k>0 C．0≤k<1 D．k<0 答案：B 4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2，4]的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________． 答案：(2，3) 5．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论． 设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图像在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条