3.2 第1课时 函数的零点及“三个二次”之间的关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

3.2 函数与方程、不等式之间的关系 课程标准 学科素养 1．会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”、“直观想象”的核心素养． 第一课时　函数的零点及“三个二次”之间的关系 [对应学生用书P64] 1．函数零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． 2．一个结论：α是函数零点的充分必要条件是，(α， 0)是函数图像与x轴的公共点． 注意：求函数y＝f(x)的零点，实质上就是要解方程f(x)＝0. 1．(教材P119习题3－2AT1(1)改编)函数y＝2x－6的零点是________． 3　解析：因为2x－6＝0，所以x＝3. 2．函数f(x)＝x2－的零点个数是________． 1　解析：f(x)零点的个数就是方程x2－＝0根的个数，也就是y＝x2与y＝两函数图像交点的个数，如图． 知识点2　二次函数的零点及其与对应方程、不等式之间的关系 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)： Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 函数零点个数 2 1 0 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x＜x1， 或x＞x2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 1．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a, b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)_<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在[a, b]中至少有一个零点x0，即∃x0∈[a,_b]，f(x0)＝0． 注意：一般地，多项式函数的图像都是连续不断的，但反比例函数y＝的图像不是连续的． 思考辨析 (1)函数f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点．(　　) (2)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内仅有一个零点．(　　) (3)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＞0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内没有一个零点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．用二分法求函数零点的近似值步骤 在函数零点存在定理的条件满足时，给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得| x1－ x0|<ε的一般步骤如下： 第一步　检查| b－a|<ε是否成立，如果成立，取x1＝a或x1＝b，计算结束；如果不成立，转到第二步． 第二步　计算区间[a, b]的中点对应的函数值，若f()＝0，取x1＝，计算结束；若f()≠0，转到第三步． 第三步　若f(a)f()<0，将的值赋给b(用→b表示，下同)，回到第一步；若f()f(b)<0，将的值赋给a，回到第一步． 1．思考辨析 (1)所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．(　　) (3)二分法只可用来求方程的近似解．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________. (0，0.5)　f(0.25)　解析：因为f(0)<0，f(0.5)>0，所以x0∈(0，0.5)，故第二次应计算f(0.25). [对应学生用书P65] (1)函数f(x)＝x＋的零点的个数为(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 A　解析：方法一：令f(x)＝0，即x＋＝0，所以x2＋1＝0，此方程显然无解，故函数f(x)＝x＋的零点的个数为0. 方法二：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，但此函数在定义域内的图像不连续，所以函数没有零点． (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点. 解：由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.