3.1.3 第2课时 函数的奇偶性习题课（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

第二课时　函数的奇偶性习题课 [对应学生用书P61] 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式． 解：因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0. 当x＞0时，－x＜0，所以f(－x)＝－x(1＋x). 所以f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x). 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ [变式]　若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，f(0)＝0”，其他条件不变，则f(x)的解析式又是什么？ 解：设x＞0，则－x＜0， 所以f(－x)＝－x(1＋x). 又函数y＝f(x)是偶函数． 所以f(x)＝f(－x)＝－x(1＋x). 又f(0)＝0，所以f(x)＝ 根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)转化代入已知区间的解析式． (3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x). 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)<f()<f() B．f()<f(1)<f() C．f()<f()<f(1) D．f()<f(1)<f() B　解析：因为函数f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f()＝f()，f()＝f()，又f(x)在[0，2]上单调递增，所以f()<f(1)<f()，即f()<f(1)<f(). 比较大小的策略 看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． [训练1]　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3) A　解析：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图像的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，因为|－2|＜|－3|＜π，所以f(π)＞f(－3)＞f(－2). 若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，求不等式>0的解集． 解：因为f(x)为奇函数，f(3)＝0， 所以f(－3)＝0，＝f(x). 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递增． 当x>0时，由f(x)>0，得f(x)>f(3)，所以x>3； 当x<0时，由f(x)>0，得f(x)>f(－3)， 所以－3<x<0. 所以原不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞). 利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解． (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响． [训练2]　设定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围． 解：因为g(x)在[－2，2]上为偶函数， 所以g(1－m)<g(m)⇔g(|1－m|)<g(|m|). 又g(x)在[0，2]上单调递减， 所以解得－1≤m<. 所以m的取值范围是. [对应学生用书P63] 1．已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x(x＋1)，则当x>0时，f(x)＝(　　) A．x(x－1)　　　　　　　　 B．x(x＋1) C．－x(x－1) D．－x(x＋1) 答案：A 2．已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则(　　) A．f(3)<f(－5)<f(－4) B．f(－4)<f(－5)<f(3) C．f(3)<f(－4)<f(－5) D．f(－5)<f(－4)<f(3) 答案：D 3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式 <0的解集为(　　) A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1) 答案：D 4．已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既