3.1.3 第1课时 函数的奇偶性（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

3.1.3　函数的奇偶性 课程标准 学科素养 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 通过对函数奇偶性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． 第一课时　函数的奇偶性 [对应学生用书P58] 1．奇偶性定义 偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D, 如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数． 奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D, 如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数． 2．奇、偶函数的图像 偶函数的图像关于y轴对称，反之结论也成立； 奇函数的图像关于原点对称，反之结论也成立． 具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示　定义域关于原点对称． 思考辨析 (1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　) (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 函数奇偶性与单调性的关系 如果y＝f(x)是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；如果y＝f(x)是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同． 1．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　) A．f(1)>f(2)　　　　　 B．f(1)<f(2) C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能 A　解析：因为f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(1)>f(2). 2．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________. 3　解析：因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝3. [对应学生用书P59] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝. 解：(1)f(x)的定义域是R，关于原点对称． 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是R，关于原点对称． 又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． 1．定义法判断函数的奇偶性 2．图像法判断函数的奇偶性 [训练1]　(1)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝(x－2) ；②f(x)＝x|x|. 解：①由≥0，得定义域为[－2，2)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数． ②函数的定义域为R，关于原点对称．因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (2)已知函数f(x)＝试判断函数f(x)的奇偶性． 解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 当x<0时，－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3 ＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x). 所以f(x)是R上的奇函数． 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小． 解：方法一：因为函数f(x)是偶函数， 所以其图像关于y轴对称，补全图像如下图． 由图像可知f(1)＜f(3). 方法二：由图像可知f(－1)＜f(－3). 又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3).所以f(1)＜f(3). [变式]　只将本例中的“偶”改为“奇”呢？ 解：方法一：因为函数f(x)是奇函数， 所以其图像关于原点对称，补全图像如下图． 由图像可知f(1)＞f(3). 方法二：由图像可知f(－1)＜f(－3). 又函数y＝f(x)是奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3). 所以－f(1)＜－f(3).所以f(1)＞f(3). 奇、偶函数图像对称性的两大应用 应用一：巧作函数图像． (1)奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于y轴对称． (2)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题． 应用二：求函数最值、单调性问题． 函数的奇偶性反映到图像上是图像的对称性，可以利用图像解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函