3.1.2 第1课时 函数的单调性（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

3.1.2　函数的单调性 课程标准 学科素养 借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性． 通过对函数单调性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． 第一课时　函数的单调性 [对应学生用书P52] 1．增、减函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增). (2)如果对任意 x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减).两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也分别称为单调递增区间或单调递减区间). 2．函数的最大值和最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且x0∈D： 如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝_f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点； 如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min＝_f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点； 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． 1．增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？ 提示　定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1<x2； (3)属于同一个单调区间． 2．若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ 提示　不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是． 1．思考辨析 (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1，2]上是增函数．(　　) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1).(　　) (3)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．函数y＝f(x)的图像如图所示，其增区间是(　　) A．[－4，4]　　　　　　　 B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] C　解析：根据函数单调性定义及函数图像知f(x)在[－3，1]上单调递增． 3．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值也有最小值 D．既无最大值也无最小值 D　解析：因为f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)<f(0)＝－1，故选D. 1．直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在. 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． 若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝_y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为． 2．函数单调性与其图像上任意两点连线斜率的关系 一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝(即＝)，则： (1) y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立； (2) y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立； 一般地，当x1≠x2时，称＝为函数在区间[x1, x2]( x1<x2)或[x2, x1]( x1>x2)上的平均变化率． 思考辨析 (1)(教材P99例4改编)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的单调性取决于k的正负性．(　　) (2)(教材P102练习AT6改编)函数f(x)＝－x2＋2x最大值为1，无最小值．(　　) (3)若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1与x2，总有＞0，则f(x)在R上是减函数.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× [对应学生用书P54] 证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是增函数． 证明：方法一：任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2， 那么f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2). 因为x2>x1>1，所以x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0. 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). 所以函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是增函数． 方法二：设x1≠x2，那么＝＝1－>0， 因此函数f(x)＝x＋在(1, ＋∞)上是增函数． [变式]　判断并证明本例中函数f(x)在(0，1)上的单调性． 解：方法一： 函数f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．证