3.1.1 第2课时 函数的表示方法（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

第二课时　函数的表示方法 课程标准 学科素养 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图像的作用． 2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 通过对函数表示法的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． [对应学生用书P49] 1．解析法：用代数式(或解析式)表示函数的方法． 2．图像法 (1)图像法：用函数的图像表示函数的方法． (2)函数图像：一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标和纵坐标，则满足条件的点(x, y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|_y＝f(x)，x∈A}． 注意：如果F是函数y＝f(x)的图像，则图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上． 3．两种特殊函数 (1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． (2)常数函数：值域只有一个元素的函数，也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等． 1．(教材P93练习AT7改编)已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(　　) A.π2　　　　　　　 B．π C． D．不确定 答案：B 2．下列图像是函数y＝的图像的是(　　) C　解析：由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图像过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数图像是开口向上的抛物线y＝x2在y轴左侧的部分．因此只有图像C符合． 3．函数f(x)＝则f(f(4))＝________. 0　解析：因为f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0， 所以f(f(4))＝f(－1)＝0. [对应学生用书P50] (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6.求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2.求f(x)的解析式． 解：(1)设反比例函数f(x)＝(k≠0)， 则f(3)＝＝－6，解得k＝－18. 所以f(x)＝－. (2)方法一：换元法．令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2. 所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1. 所以f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二：配凑法．因为x＋2＝(＋1)2－1， 所以f(＋1)＝(＋1)2－1. 又因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－1(x≥1). [变式]　将本例(2)中的已知条件改为f()＝呢？ 解：方法一：换元法．设t＝，则x＝(t≠0)， 代入f＝， 得f(t)＝＝. 故f(x)＝(x≠0，且x≠±1). 方法二：因为f＝＝， 所以f(x)＝(x≠0，且x≠±1). 求函数解析式的两种方法 方法一：待定系数法． 适用条件：函数的类型已知，如一次函数、二次函数等． 操作过程： 方法二：换元法． 适用条件：已知y＝f(g(x))，求f(x)的解析式． 操作过程： 提醒：利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域． 作出下列函数的图像，并指出其值域． (1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)； (2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0). 解：(1)用描点法可以作出所求函数的图像如图①所示. 由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为. (2)用描点法可以作出函数的图像如图②所示． 由图可知y＝(－2≤x≤1, 且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞). 描点法作函数图像的三个关注点 (1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像． (3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这些关键点是实心点还是空心圈． 提醒：函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等 [训练1]　作出下列函数图像： (1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3). 解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0，1，2}． 所以图像为一直线上的孤立点，如图①. (2)因为y＝2(x－1)2－5， 所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3； 当x＝1时，y＝－5. 所画函数图像如图②. 已知函数f (x)＝ (1)求f的值； (2)若f(x)＝2，求x的值． 解：(1)f(－)＝(－)＋2＝， 所以f＝f()＝()2＝. 所以f＝f()＝×＝. (2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0, 不符合x＜0. 当f(x)＝x2＝2时，x＝±， 其中x＝符合0≤x＜2. 当f(x)＝x＝2时，x＝4，符合x≥2. 综上，x的值是或4. [变式]　本例已知条件不变，若f(x)＝－2，求x的