3.1.1 第1课时 函数的概念（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

3．1　函数的概念与性质 3．1．1　函数及其表示方法 第一课时　函数的概念 课程标准 学科素养 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 通过对函数概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． [对应学生用书P46] 1．函数定义：一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 2．相关概念：x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域． 注意：对应关系也可以用其他小写英文字母如g，h等表示． 3．同一个函数：如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数． 4．一个约定：在表示函数时，如果不产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合． 1．任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？ 提示　不一定，两个集合必须是非空的数集. 2．什么样的对应可以构成函数关系？ 提示　两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系． [对应学生用书P47] 判断下列对应中是否是A到B的函数． (1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f为“取绝对值”； (2)A＝Z，B＝Z，f为“取平方”； (3)A＝{1，2，3}，B＝{a，b}，对应关系如下图所示： (4)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如下图所示： 解：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数； (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数； (3)集合B不是确定的数集，故不是A到B的函数； (4)集合A中的元素3在B中没有对应元素，且A中元素2在B中有两个元素5和6与之对应，故不是A到B的函数． 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A，B必须是非空实数集； (2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应； (3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一． [训练1]　对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有(　　) ①y是x的函数；②对于不同的x值，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来． A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 B　解析：①③正确，②是错误的，对于不同的x值，y的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来． 求下列函数的定义域： (1)y＝－；(2)y＝. 解：(1)要使函数有意义， 自变量x的取值必须满足 解得x≤1，且x≠－1， 即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． (2)要使函数有意义， 自变量x的取值必须满足 解得x≤5，且x≠±3， 即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}． 求函数定义域的常用依据 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． [训练2]　(1)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(－∞，2] D．[2，＋∞) A　解析：由2－x≥0，解得x≤2，所以M＝(－∞， 2]，所以∁RM＝(2，＋∞). (2)函数f(x)＝的定义域为________． {x|x≥0，且x≠1}　解析：要使有意义， 需满足解得x≥0，且x≠1， 故函数f(x)的定义域为{x|x≥0，且x≠1}． 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值； (3)求f(x)，g(x)的值域． 解：(1)因为f(x)＝， 所以f(2)＝＝. 又因为g(x)＝x2＋2， 所以g(2)＝22＋2＝6. (2)f(g(2))＝f(6)＝＝. (3)f(x)＝的定义域为{x|x≠－1}，