2.2.4 均值不等式及其应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.2.4　均值不等式及其应用 课程标准 学科素养 1．掌握基本不等式≤(a>0，b>0). 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 通过对基本不等式和求最值的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． [对应学生用书P43] 1．给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值． 2．均值不等式(基本不等式) 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值． 4．均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． ≥与()2≥ab是等价的吗？ 提示　不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. (1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． [对应学生用书P43] 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1， 证明：＋＋≥9. 证明：＋＋＝＋＋ ＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋) ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 用均值不等式证明不等式的解题策略 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式． [训练1]　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1， 求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc. 证明：(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b) ≥2·2·2＝8abc. 当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立． 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解：方法一：(1的代换)因为＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋. 因为x＞0，y＞0，所以＋≥2 ＝6. 当且仅当＝，即y＝3x时，取等号． 又＋＝1，所以x＝4，y＝12，所以x＋y≥16. 所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 方法二：(消元法)由＋＝1，得x＝. 因为x＞0，y＞0，所以y＞9. x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1 ＝(y－9)＋＋10. 因为y＞9，所以y－9＞0， 所以y－9＋≥2＝6. 当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号，此时，x＝4，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 方法三：(配凑法)由＋＝1得，y＋9x＝xy， 所以(x－1)(y－9)＝9. 所以x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥ 10＋2＝16. 当且仅当x－1＝y－9时取等号． 又因为＋＝1，所以x＝4，y＝12. 所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 1．利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 提醒：以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式 [训练2]　(1)已知＋＝2(x＞0，y＞0)，则x·y的最小值是________； (2)设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值为________． (1)6　(2)18　解析：(1)方法一： 因为2＝＋≥2 ， 所以 ≤1，所以≤1，所以xy≥6， 当且仅当＝，即x＝2，y＝3时等号． 所以xy的最小值为6. 方法二：由＋＝2得，3x＋2y＝2xy， 因为x＞0，y＞0，所以3x＋2y≥2，等号在3x＝2y时成立， 所以2xy≥2，所以xy≥6. 由，得. 所以xy的最小值为6. (2)由2x＋8y－xy＝0及x＞0，y＞0，得＋＝1. 所以x＋y＝(x＋y) ＝＋＋10≥2＋10＝18. 当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立． 所以x＋y的最小值是18. 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解：设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1). 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)， 当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 求解应用题的方法与步骤 (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．