2.2.3 一元二次不等式的解法（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.2.3　一元二次不等式的解法 课程标准 学科素养 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 通过对一元二次不等式的解法的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． [对应学生用书P41] 1．一元二次不等式：一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0. 一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 提示　此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2．因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1,_x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，_x1)∪(_x2，＋∞)． 3．配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． 1．(教材P71练习AT1(2)改编)不等式(1－x)(3＋x)>0的解集是(　　) A．(－3，1)　　　　　　 B．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C．(－1，3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) A　解析：不等式变为(x－1)(x＋3)<0，解得－3<x<1. 2．不等式x2－2x－5>2x的解集是________________． {x|x>5或x<－1}　解析：由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}． 3．不等式－3x2＋6x－2>0的解集为________________. (1－，＋1)　解析：原不等式变形为3x2－6x＋2<0. 又因为3x2－6x＋2＝3(x－1)2－1，所以上述不等式可化为(x－1)2<，从而－<x－1<，即不等式的解集为(1－，＋1). [对应学生用书P41] 求不等式4x2－4x＋1>0的解集． 解：因为4x2－4x＋1＝(2x－1)2，所以上述不等式可化为(2x－1)2>0，显然当x≠时此不等式成立，所以不等式解集为(－∞， )∪(，＋∞). [变式]　将本例不等式变为：－x2＋2x－3>0，求解此不等式． 解：不等式可化为(x－1)2＋2<0，即(x－1)2<－2， 显然不成立，所以不等式的解集为∅. 解一元二次不等式的常用方法 (1)因式分解法．此法主要用于一元二次不等式是特殊类型，即二次三项式能进行“十字相乘法”因式分解的情形． (2)配方法：此法适用情形较广，但要求对配方法较为熟练． [训练1]　求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x>6；(2)－x2＋7x>6. 解：(1)由x2－5x>6，得(x＋1)(x－6)>0. 所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞). (2)由－x2＋7x>6，得(x－1)(x－6) <0. 所以不等式－x2＋7x>6的解集为{x|1<x<6}． 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R). 解：当a＜0时，不等式可化为(x－)(x－1)＞0， 因为a＜0，所以＜1， 所以不等式的解集为. 当a＝0时，不等式即－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}． 当a＞0时，不等式可化为(x－)(x－1)＜0. 当0＜a＜1时，＞1，不等式的解集为. 当a＝1时，不等式的解集为∅. 当a＞1时，＜1，不等式的解集为. 综上，当a＜0时，解集为； 当a＝0时，解集为{x|x＞1}； 当0＜a＜1时，解集为； 当a＝1时，解集为∅； 当a＞1时，解集为. 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑二次三项式因式分解，再考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论． [训练2]　解关于x的不等式56x2－ax－a2>0. 解：56x2－ax－a2>0可化为(7x－a)(8x＋a)>0， ①当a>0时，－<，所以x>或x<－； ②当a<0时，－>，所以x>－或x<； ③当a＝0时，x≠0. 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为 ； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a<0时，原不等式的解集为. [对应学生用书P42] 1．(多选题)下列四个不等式，其中解集为∅的是(　　) A． x2＋6x＋10>0　　　　　 B．x2－2x＋>0 C．－2＋3x－2x2>0 D．2x2－3x＋4<1 答案：CD 2．若t>2，则关于x的不等式(x－t)(x－)<0的解集为(　　) A．(，t) B．(－∞，t)∪(，