2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [对应学生用书P30] 1．形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0. 2．一元二次方程解集的情况 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(※)的判别式：当Δ>0时，方程(※)的解集为{，}； 当Δ＝0时，方程(※)的解集为． 当Δ<0时，方程(※)的解集为∅． 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，设其两个解分别为x1，x2，则有 x1＋x2＝－，x1x2＝. 这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系． [对应学生用书P30] 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根． (1)x2－3x＋3＝0；(2)x2－ax－1＝0； (3) x2－ax＋(a－1)＝0. 解：(1)因为Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，所以方程没有实数根． (2)该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程有两个不等的实数根， x1＝， x2＝. (3)由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， ①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ②当a≠2时，Δ＞0, 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1. 配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)现将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； (5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q＜0，方程无实根． [训练1]　解方程：x2－2x＋a＝0. 解：由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， ①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根x1＝1＋，x2＝1－； ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根． 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 解：方法一：因为2是方程的一个根， 所以5×22＋k×2－6＝0，所以k＝－7. 所以方程就为5x2－7x－6＝0， 解得x1＝2，x2＝－. 即方程的另一个根为－，k的值为－7. 方法二：设方程的另一个根为x1， 则2x1＝－， 所以x1＝－. 由(－)＋2＝－，得 k＝－7. 所以方程的另一个根为－，k的值为－7. 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝，| x1－x2|＝. [训练2]　已知方程x2＋kx＋3k＝0的两个实数根是x1，x2，且x＋x＝7，求k的值． 解：由根与系数的关系，得， 由x＋x＝( x1＋x2)2－2 x1x2，得k2－6k＝7， 解得k1＝7，k2＝－1， 由于方程有两个实数根，Δ>0，即k2－12k>0， 显然，k＝7时，不满足这个条件，k＝－1满足这个条件， 所以k＝－1. [对应学生用书P31] 1．关于x的一元二次方程x2＋2x＋3＝0的根的个数是(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．不确定 答案：A 2．一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　　) A．(y＋)2＝1 B．(y－)2＝1 C．(y＋)2＝ D．(y－)2＝ 答案：B 3．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________． 答案：(－∞，2) 4．若m，n满足m2－3m－1＝0，n2－3n－1＝0，且m≠n，求＋的值． 解：由题意可得，m，n为方程x2－3x－1＝0的两个不等实根，所以m＋n＝3，mn＝－1， 所以＋＝＝＝＝－11. 学科网（北京）股份有限公司 $$