2.1.1 等式的性质与方程的解集（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

2．1　等式 2．1．1　等式的性质与方程的解集 课程标准 学科素养 1．通过对比，理解等式和不等式的共性与差异． 2．梳理等式的性质． 通过对等式性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． [对应学生用书P27] 1．等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立，即如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c． 2．等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，即如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc． 1．恒等式：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 2．“十字相乘法” 给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)． 注意：已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用下图来表示： 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C. 方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值. 一般地，把一个方程的所有解组成的集合称为这个方程的解集． [对应学生用书P28] (1)“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示， 前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为(　　) A．5　　　　 B．4　　　　 C．3　　　　 D．2 A　解析：设“●”“■”“▲”的质量分别为由题图可知，2x＝y＋z①，x＋y＝z②，②两边都加上y，得x＋2y＝y＋z③，由①③，得2x＝x＋2y，所以x＝2y，代入②，得z＝3y，因为x＋z＝2y＋3y＝5y，所以“？”处应放“■”5个． (2)下列变形一定正确的是(　　) A．若ax＝bx，则a＝b B．若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1 C．若x＝y，则x－5＝5－y D．若x＝y，则＝ D　解析：等式的性质2中两边同除以一个不为0的数，等式成立，应找不为0的式子，而A、B中字母都可取0，而D中a2＋1>0，故D正确． [训练1]　将等式变形，过程如下： 因为3a－2b＝2a－2b 所以3a＝2a　　　　　 (第一步) 所以3＝2　　　　　 (第二步) 上述过程中，第一步的依据是________；第二步得出错误的结论，其原因是__________． 性质1　a＝0　解析：第一步的依据是等式的性质1.第二步得出错误的结论，其原因是a＝0. 分解因式： (1)x2－3x＋2; (2)x2＋4x－12； (3)x2－(a＋b)xy＋aby2; (4) xy－1＋x－y. 解：(1)如图1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2). 图1 　　图2　 图3　 　图4 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示(如图2所示). (2)由图3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6). (3)由图4，得 x2－(a＋b)xy＋aby2＝(x－ay)(x－by). (4)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1 ＝(x－1) (y＋1) (如图5所示). 图5 因式分解的常用方法 (1)“十字相乘法”，此法适用于二次项系数和常数项分解交叉相乘结果为一次项系数的二次三项式因式分解问题． (2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法． (3)公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法． [训练2]　给出三个多项式：a2＋3ab－2b2，b2－3ab，ab＋6b2，任请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式． 解：根据平方差公式，可得答案． (a2＋3ab－2b2)＋(b2－3ab) ＝a2＋3ab－2b2＋b2－3ab ＝a2－b2＝(a＋b)(a－b). 已知(m2－1)x2－(m＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程， (1)求代数式200(m＋x)(x－2m)＋9m的值； (2)求关于y的方程m|y－1|＝x的解． 解：(1)依题意，得所以m＝1. 所以原方程为－2x＋8＝0，所以x＝4. 将m＝1，x＝4代入 200(m＋x)(x－2m)＋9m＝200(1＋4)(4－2)＋9＝2 009. (2)因为m＝1，x＝4， 所以m|y－1|＝x可化为|y－1|＝4， 所以y－1＝±4，所以y＝5或y＝－3. 先找准突破口，求出m，再层层递进，从而求x及代数式与方程的解． [训练3]　能不能从(a＋3)x＝b－1得到x＝，为什么？反之，能不能从x＝得到等式(a＋3)x＝b－1，为什么？ 解：当a＝－3时，从(a＋3)x＝b－1不能得到x＝，因为0不能