1.2.3 第2课时 充要条件（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

第二课时　充要条件 课程标准 学科素养 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 通过对充要条件的学习，提升“逻辑推理”“数学抽象”的核心素养． [对应学生用书P24] 1．一般地，如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． 2．如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 3．如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”． 1．(教材P35习题1－2AT4(1)改编)“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|. 2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________． 充要条件　解析：因为p⇔q, q⇔r, 所以p⇔r, 所以p是r的充要条件． 3．下列各题中，p是q的充要条件的是______(填序号). (1)p：x>0，y>0，q：xy>0； (2)p：a>b，q：a＋c>b＋c. (2)　解析：在(2)中，p⇔q，所以(2)中p是q的充要条件，在(1)中，p⇒q，qp，所以(1)中p不是q的充要条件． [对应学生用书P25] (1)“m＞”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：方程x2＋x＋m＝0无实根⇔Δ＝1－4m＜0⇔m＞. (2)a、b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0　　　　　　　 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 D　解析：a2＋b2＞0，则a、b不同时为零；a、b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0. 判断充要条件的解题思路以及注意事项 (1)思路： 充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样． (2)注意事项： ①在定义法中，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性； ②在推出法中，使用的是双向推出法，而不是单向推出法； ③在集合法中，判断的是两个集合互为子集，即判断两个集合相等 [训练1]　下列所给的p，q中，p是q的充要条件的是______．(填序号) ①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ②p：|x|＞3，q：x2＞9. ①②　解析：①若a2＋b2＝0， 则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0， 即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． ②由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9， 所以p是q的充要条件． 已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明：先证必要性：因为a＋b＝1， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0. 所以必要性成立． 再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 又因为ab≠0，所以a≠0且b≠0. 从而a2－ab＋b2＝＋≠0. 所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.故充分性成立． 所以a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论． [训练2]　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一负根． 所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0. 充分性：由ac＜0，可推得b2－4ac＞0，及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根). 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. [对应学生用书P26] 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A