1.2.3 第1课时 充分条件、必要条件（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.2.3　充分条件、必要条件 第一课时　充分条件、必要条件 课程标准 学科素养 1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解性质定理与充分条件的关系． 通过对充分条件与必要条件的学习，提升“逻辑推理”、“数学抽象”的核心素养． [对应学生用书P21] 1．充分条件、必要条件的相关概念 (1)若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”；否则，称由p不可以推出q，记作pq，读作“p推不出q”． (2)充分条件、必要条件 当p⇒q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． (3)同一逻辑关系的四种表达形式 ①“如果p，那么q”是真命题， ②p⇒q， ③p是q的充分条件， ④q是p的必要条件． 2．用集合间的关系判断充分条件、必要条件 一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A⊆B，那么p(x)⇒q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件． 1．思考辨析 (1)已知p⇒q，则“若p，则q”是真命题．(　　) (2)已知p⇒q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q.(　　) (3)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”，但即使q成立，p也未必会成立．(　　) (4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．以上答案均不正确 A　解析：当x>0时一定有x≠0；反之，若x≠0，则不一定有x>0，故“x>0”是“x≠0”的充分条件． 3．“a>0，b>0”是“ab>0”的__________条件．(填“充分”或“必要”) 充分　解析：若“a>0，b>0”则必有“ab>0”；反之，若“ab>0”，则不一定有“a>0，b>0”，“a>0，b>0”是“ab>0”的充分条件． [对应学生用书P22] (1)已知p：x＞1，q：x＞2，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．以上答案均不正确 B　解析：因为x＞1x＞2，但x＞2⇒x＞1，所以pq，但q⇒p，所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件． (2)判断下列各题中p是q的什么条件． ①p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； ②p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形． 解：①由a2＋b2＝0，得a＝b＝0.从而可以推出a＋b＝0.而由a＋b＝0推不出a2＋b2＝0(如a＝1，b＝－1)，所以p是q的充分条件． ②由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是矩形”．而由“四边形是矩形”可以推出“四边形的对角线相等”，所以p是q的必要条件． 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论． ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件． ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． (2)集合法：根据p，q成立的对象构成的集合间的包含关系判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． [训练1]　已知条件p：x>1或x<－3，条件q：2<x<3，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 B　解析：法一(定义法)：由于p：x>1或x<－3，q：2<x<3. 所以q⇒p，但pq，所以p是q的必要条件，故选B. 法二(集合法)：由于p：A＝{x| x>1或x<－3}，q：B＝{x|2<x<3}，显然BA，故p是q的必要条件，故选B. 是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：4x＋p＜0⇒x＜－. 当－≤－1时，即p≥4时，x＜－≤－1， ⇒x＜－1⇒x＞2或x＜－1. 故当p≥4时，“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件． [变式]　本例若换为：是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的必要条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：由于x2－x－2＞04x＋p＜0，所以不存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的必要条件． 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的