1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

1．2．2　全称量词命题与存在量词命题的否定 课程标准 学科素养 1．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 通过对全称量词命题、存在量词命题否定的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”的核心素养． [对应学生用书P19] 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”． 知识点2　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题∀x∈M，¬p(x)． 2．全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题∃x∈M，¬q(x)． 1．思考辨析 (1)命题¬p的否定是p.(　　) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．若命题p：∃x>0，x2－3x＋2>0，则命题¬p为(　　) A．∃x>0，x2－3x＋2≤0 B．∃x≤0，x2－3x＋2≤0 C．∀x>0，x2－3x＋2≤0 D．∀x≤0，x2－3x＋2≤0 C　解析：命题p是一个存在量词命题，¬p为：∀x>0，x2－3x＋2≤0. 3．已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么¬p是____________． ∃x>2，x3－8≤0　解析：命题p为全称量词命题， 其否定为存在量词命题， 则¬p：∃x>2, x3－8≤0. [对应学生用书P19] 探究一　全称量词命题的否定与真假判断 (1)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 C　解析：命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”． (2)写出下列全称量词命题p的否定，并判断p的否定的真假： ①p：所有矩形的对角线相等； ②p：不论m取什么实数， x2＋x－m＝0必有实数根． 解：①¬p：有的矩形的对角线不相等．假命题． ②¬p：存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根．真命题． [变式]　若本例(2)②变为“p：不论m取什么实数， x2＋2mx＋m2＋1＝0都无实数根”，试写出¬p，并判断其是真命题还是假命题． 解：¬p：存在实数m，使x2＋2mx＋m2＋1＝0有实数根．由于Δ＝(2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，故方程无实数根．所以¬p为假命题． 全称量词命题的否定形式与判断真假的方法 (1)求全称量词命题的否定命题，先将全称量词调整为存在量词，再对性质p(x)进行否定． (2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题． [训练1]　命题p：∀x∈R，|x|＋1－x≠0的否定为(　　) A．∀x∈R，|x|＋1－x＞0 B．∀x∈R，|x|＋1－x＜0 C．∃x∈R，|x|＋1－x＝0 D．∃x∈R，|x|＋1－x≠0 C　解析：命题p是一个全称量词命题，其否定为∃x∈R，|x|＋1－x＝0. 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： (1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0； (2)¬p：存在一个非负数的平方不是正数； (3)¬p：∃x，y∈Z，使得 x＋y＝3. 解：(1)¬p：∀x>1，x2－2x－3≠0.假命题． (2)¬p：非负数的平方是正数，假命题． (3)¬p: ∀x，y∈Z，都有x＋y≠3.假命题． (1)对存在量词命题否定的两个步骤 ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． ②否定：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． (2)存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． [训练2]　写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)∃x∈R，x>2；(2)∃x∈R，x2<0. 解：(1)∀x∈R，有x≤2.它是假命题． (2)∀x∈R，有x2≥0.它是真命题． [对应学生用书P21] 1．命题“对任意x∈R，都有x2－x>0”的否定为(　　) A．对任意x∈R，都有x2－x≤0 B．存在x∈R，使得x2－x≤0 C．存在x∈R，使得x2－x>0 D．不存在x∈R，使得x2－x≤0 答案：B 2．下列四个命题中，真命题是(　　) A．∀x∈R，x＋ ≥2　　　 B．∃x∈R，x2－x>5 C．∃x∈R，|x＋1|<0 D．∀x∈R，|x＋1|>0 答案：B 3