1.2.1 命题与量词（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

1．2　常用逻辑用语 1．2．1　命题与量词 课程标准 学科素养 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 通过对全称量词与存在量词的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”的核心素养． [对应学生用书P15] 命题：可供判断真假的陈述句就是命题. 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题． 1．思考辨析 (1)“梯形是不是平面图形？”是命题．(　　) (2)“若a＝b，则ac＝bc”是命题．(　　) (3)“x2－3x＋2＞0”不是命题．(　　) (4)命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是“若一个三角形是直角三角形”．(　　) (5)命题“平行四边形的对角线相交于一点，且互相平分”的结论是“对角线互相平分”．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2．下列命题中，是真命题的是(　　) A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集 B．若x2＝1，则x＝1 C．空集是任何集合的真子集 D．方程x2－5x＝0的根是自然数 答案：D 1．全称量词与全称量词命题 (1)一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，称为全称量词命题． (2)全称量词命题的一般形式：∀x∈M，r(x)． 2．存在量词与存在量词命题 (1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，称为存在量词命题． (2)存在量词命题的一般形式：∃x∈M，s(x)． “有理数都是实数”是全称量词命题吗？此命题是真命题还是假命题？ 提示　是全称量词命题．是真命题． 思考辨析 (1)“∃x∈R，x2＜0”是存在量词命题．(　　) (2)“∀x∈R，－x2－1＜0”是真命题．(　　) (3)将“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为“∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy”．(　　) (4)若命题“∀x∈M，p(x)成立”是真命题，则“∃x∈M，使p(x)成立”也是真命题．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ [对应学生用书P16] (1)下列语句中，命题的个数为(　　) ①中国航天人真伟大！②空集是任何集合的真子集；③3x－2＞0；④把门关上；⑤自然数是偶数；⑥垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑦在2030年之前，人类能登上火星． A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 C　解析：①是感叹句，不能判断真假，不是命题；③中含有未知数x，不能判断真假，不是命题；④是祈使句，不能判断真假，不是命题；⑥是疑问句，不能判断真假，不是命题．②⑤可以判断真假，都是命题．⑦虽然目前还不能确定真假，但随着时间的推移，总能判断它的真假，故也是命题． (2)判断下列命题的真假： ①已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； ②对任意的x∈N，都有x3>x2成立； ③若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； ④存在一个三角形没有外接圆． 解：①假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. ②假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立． ③真命题．因为m>1⇒Δ＝4－4m<0，所以方程x2－2x＋m＝0无实数根． ④假命题．因为不共线的三点确定一个圆． (1)判断一个语句是否是命题的方法 判断一个语句是不是命题，要根据命题的定义进行判断，关键看它是否同时具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．一般地，祈使句、感叹句等都不是命题． (2)判断命题真假的策略 ①要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． ②要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可． [训练1]　(1)下列语句不是命题的有(　　) ①2＜1；②x＜1；③若x＜2，则x＜1；④y＝x2是二次函数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B　解析：①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题． (2)判断下列命题的真假： ①正n边形(n≥3)的n个内角全相等． ②菱形的对角线相等且互相平分． 解：①真命题. ②假命题． 探究二　全称量词命题和存在量词命题的判定 (1)下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的三角形是等腰三角形也是等边三角形； ③三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词. 命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有两个全称命题． (2)下列语句不是存在量词命题的是(　　) A．有的无理数