1.1.3 第2课时 补集及集合运算综合（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

第二课时　补集及集合运算综合 课程标准 学科素养 1．在具体情境中，了解全集的含义． 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 3．体会图形对理解抽象概念的作用． 通过对补集概念的学习，提升“直观想象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． [对应学生用书P12] 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示． 全集一定是实数集R吗？ 提示　全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 1．定义：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”. 由全集U及其子集A得到∁UA，通常称为补集运算． 2．图形表示 3．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U；(2)A∩(∁UA)＝∅；(3)∁U(∁UA)＝A． 1．思考辨析 (1)集合∁RA＝∁QA.(　　) (2)一个集合的补集一定含有元素．(　　) 答案　(1)×　(2)× 2．(教材P19练习AT4改编)已知U＝{x|x∈N*，且x＜9}，A＝{1，3，5，7}，则∁UA＝(　　) A．{6，8}　　　　　　　　 B．{5，7} C．{1，3，5，7} D．{2，4，6，8} D　解析：因为U＝{x|x∈N*，且x＜9}，A＝{1，3，5，7}， 所以∁UA＝{2，4，6，8}． 3．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁UP等于(　　) A．{x|0≤x＜1，或x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|x＜1或x＞1} D．{x|x＞1} A　解析：因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以∁UP＝{x|x≥0，且x≠1}＝{x|0≤x＜1或x＞1}． 4．已知全集为R，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}，则∁RA＝________． {x|1≤x＜5}　解析：如图所示，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}的补集是∁RA＝{x|1≤x＜5}． [对应学生用书P13] 已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}．求集合B. 解：方法一：因为A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， 所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}， 所以B＝{2，3，5，7}． 方法二：借助Venn图，如图所示： 由图可知B＝{2，3，5，7}． 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，直接套用定义或借助Venn图求解． ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解 [训练1]　设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}．求∁UA，∁UB. 解：方法一：在集合U中， 因为x∈Z，所以x的值为－5，－4，－3，3，4，5. 所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}． 又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}， 所以∁UA＝{－5，－4，3，4}， ∁UB＝{－5，－4，5}． 方法二：借助Venn图，如图所示： 则∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}． 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁RB，∁R(A∪B)，(∁RA)∩B. 解：把集合A，B在数轴上表示如下： 由图知∁RB＝{x|x≤2或x≥10}， A∪B＝{x|2＜x＜10}， 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}． 因为∁RA＝{x|x＜3或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}． (1)求解与不等式有关集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，借助于数轴(这也是集合语言转化为图形语言的常用方法)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． (2)求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，然后再运算其他，如求(∁RA)∩B时，可先求出∁RA，再求交集． [训练2]　(1)已知全集U＝{x|x≤10，x∈R}，集合M＝{a|－3≤a≤3}，N＝{b|b≤－5}，则∁U(M∪N)为(　　) A．{x|－5＜x＜－3或3＜x≤10} B．{x|－5＜x＜－3或x＞3} C．{x|－5＜x＜－3或3≤x≤10} D．{x|－5≤x≤－3且3＜x＜10} A　解析：如图，可知M∪N＝{x|x≤－5或－3≤x≤3}． 则∁U(M∪N)＝{x|－5＜x＜－3或3＜x≤10}． (2)设全集U＝M∪N＝{1，2，