1.1.2 集合的基本关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.1.2　集合的基本关系 课程标准 学科素养 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2．能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 通过对集合的基本关系的学习，提升“直观想象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． [对应学生用书P6] 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”). 对应地，如果A不是B的子集，则记作AB(或B⊉A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”). (1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ 提示　(1)不一定．如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 1．真子集的概念 自然语言 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集． 符号语言 AB(或BA) 图形语言 2.子集、真子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A.　 (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，则A⊆C. (3)对于集合A，B，C，如果AB，且BC，则AC. (4)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A． 1．思考辨析 (1)空集没有子集．(　　) (2)任何集合至少有两个子集．(　　) (3)空集是任何集合的真子集．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　 2．设集合A＝{三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{等边三角形}，则A，B，C之间的真包含关系是________． 答案：CBA 　一般地，由集合相等以及子集的定义可知： (1)如果A⊆B且B⊆A，则A＝B； (2)如果A＝B，则A⊆B且B⊆A. 下列集合与集合{x|x2－x＝0}相等的是(　　) A．{0}　　　B．{1}　　　C．{0，1}　　　D．{1，2} 答案：C [对应学生用书P7] (1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是(　　) A．M＝N　　　　　　　 B．NM C．MN D．N⊆M (2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是(　　) A．A⊆B B．A⊇B C．AB D．AB (1)C　(2)D　解析：(1)解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}，因为1∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN. (2)因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集． 判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB能准确表达集合A，B之间的关系 [训练1]　(1)已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是(　　) A．M⊆P B．P⊆M C．M＝P D．M，P互不包含 D　解析：由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含． (2)判断下列每组中的两个集合的关系． ①A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜1}； ②集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}． 解：①将集合A与集合B在数轴上表示出来，如图所示，所以有BA. ②当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1；当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1，故集合A中的元素也是4k±1，所以A＝B. 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，写出满足A⊆C⊆B的集合C的所有可能情况． 解：由A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}， 又因为A⊆C⊆B，即{1，2}⊆C⊆{1，2，3，4，5}， 所以C中至少含有元素1，2，故C的所有可能情况是：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个． 求集合子集、真子集个数的三个步骤 [训练2]　已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 解：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， 所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 所以A的子集有∅，{(0，2)}