课后提升练(十五) 均值不等式及其应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(十五)　均值不等式及其应用 [对应学生用书P119] 1．(教材P73例1改编)已知x＞0，若x＋的值最小，则x为(　　) A．81　　　　　　　　　 B．9 C．3 D．16 B　解析：因为x＞0，所以x＋≥2＝18，当且仅当x＝，即x＝9时等号成立． 2．(多选题)已知实数a，b，判断下列不等式中一定正确的是(　　) A．≥ B．a＋≥2 C．≥2 D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2 CD　解析：A中，当a＜0，b＜0时，≥不成立； B中，当a＜0时，a＋≥2不成立； C中，＝＋≥2，成立； D中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故2(a2＋b2)≥(a＋b)2成立． 3．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ A　解析：设甲、乙两地之间的距离为s.因为a<b，所以v＝＝<＝.又v－a＝－a＝>＝0，所以v>a. 4．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　) A．5 km处　　 B．4 km处　　 C．3 km处　　 D．2 km处 A　解析：设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立． 5．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)(当且仅当a＝b时，取等号). 因为要求够用且浪费最少，故选C. 6．已知a＞b＞c，则 与的大小关系是________________． ≤ 　解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0.所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立． 7．若x>0，y>0，则2x＋＋y＋的最小值是________． 3　解析：2x＋＋y＋≥2＋2＝2＋＝3，当且仅当x＝，y＝时等号成立． 8．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：(－1)(－1)(－1)≥8. 证明：因为a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 (－1)(－1)(－1)≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 9．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝－(10＜x＜100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W(万元)，(注：利润＝销售收入－成本) (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式，并求年利润的最大值； (2)为了让年利润W不低于2 360万元，求年产量x的取值范围． 解：(1)W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋4 360 ＝－(＋16x)＋4 360(10＜x＜100)， 因为＋16x≥2 ＝1 600. 当且仅当x＝50时，等号成立， 所以W≤－1 600＋4 360＝2 760，即年利润的最大值为2 760万元． (2)W＝－－16x＋4 360≥2 360， 整理得x2－125x＋2 500≤0. 解得：25≤x≤100.又10＜x＜100.所以25≤x＜100. 故为了让年利润W不低于2 360万元，年产量x的范围是[25，100). 10．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　) A．2　　　　 B．2　　　　 C．4　　　　 D．5 C　解析：因为a＞0，b＞0，所以＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 11．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b D　解析：方法一：因为0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，所以a2＋b2＞2ab，a＋b＞2，a＞a2，b＞b2，所以a＋b＞a2＋b2. 方法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大． 12．若