课后提升练(十) 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(十)　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [对应学生用书P108] 1．方程(x＋1)2＝9的解是(　　) A．x＝2　　　　　　　　 B．x＝－4 C．x1＝2，x2＝－4 D．x1＝－2，x2＝4 C　解析：由(x＋1)2＝9得x＋1＝±3，所以x1＝2，x2＝－4. 2．用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方程变形正确的是(　　) A．(x－1)2＝2 B．(x－1)2＝4 C．(x－1)2＝1 D．(x－1)2＝7 B　解析：x2－2x－3＝0，移项得x2－2x＝3，两边都加上1得x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4，则用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方程变形正确的是(x－1)2＝4. 3．(教材P51练习BT2(2)改编)已知x1，x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个根，则＋的值为(　　) A．3　　　　 　　B．－3 C．－ D． A　解析：由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－，x1·x2＝－，所以＋＝＝3. 4．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(　　) A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c A　解析：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，所以Δ＝b2－4ac＝0，又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得(－a－c)2－4ac＝0， 化简得(a－c)2＝0，所以a＝c. 5．一元二次方程x2＋mx＋3＝0的一个根为－1，则另一个根为________． －3　解析：设另一个根为a，则由题意知－a＝3，从而a＝－3. 6．设x1、x2是一元二次方程x2＋4x－3＝0的两个根，2x1(x＋5x2－3)＋a＝2，则a＝________． 8　解析：因为x1x2＝－3，x＋4x2－3＝0，所以2x1(x＋5x2－3)＋a＝2，化简，2x1(x＋4x2－3＋ x2)＋a＝2.所以2x1x2＋a＝2. 所以2×(－3)＋a＝2，解得a＝8. 7．已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根， (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． 解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0 所以a≥0. 又因为a－6≠0，所以a≠6. 由根与系数关系得：x1＋x2＝－，x1x2＝. 由－x1＋x1x2＝4＋x2 得x1＋x2 ＋4＝x1x2. 所以－＋4＝，解得a＝24. 经检验a＝24是方程－＋4＝的解． (2)原式＝x1＋x2 ＋x1x2 ＋1＝－＋＋1 ＝为负整数， 所以6－a为－1或－2，－3，－6. 解得a＝7或8，9，12. 8．写一个你喜欢的实数k的值________，使关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根． 0(答案不唯一，只要满足k>－2且k≠－1都行)　解析：因为关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＞0且k＋1≠0，即22－4(k＋1)×(－1)＞0且k≠－1，所以k＞－2且k≠－1，故k可以取0，1，2，3等，故答案为0(答案不唯一). 9．方程(1 999x)2－1 998×2 000x－1＝0的较大根为r，方程2 021x2－2 022x＋1＝0的较小根为s，则s－r的值为__________． －　解析：因为1 9992＋(－1 998×2 000)＋(－1)＝1 9992－(1 999－1)(1 999＋1)－1＝0 所以原方程有一个根是1，由根与系数的关系， 得另一个根为－，因此，r＝1； 因为2 021＋(－2 022)＋1＝0，所以原方程有一个根是1，由根与系数的关系，得另一个根为，因此，s＝；s－r＝－1＝－. 10．对于实数a、b定义：a*b＝a＋b，a#b＝ab，如：2*(－1)＝2＋(－1)＝1，2#(－1)＝2×(－1)＝－2.以下结论： ①[2＋(－5)]#(－2)＝6； ②(a*b)#c＝c(a*b)； ③a*(b#a)＝(a*b)*a； ④若x＞0，且满足(1*x)#(1#x)＝1，则x＝. 正确的是____________________．(填序号) ①②④　解析：因为[2＋(－5)]#(－2) ＝(－3)#(－2)＝6，所以①正确； 因为(a*b)#c＝(a＋b)#c＝(a＋b)c＝ac＋bc，c(a*b)＝c(a＋b)＝ac＋