课后提升练(六) 全称量词命题与存在量词命题的否定（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(六)　 全称量词命题与存在量词命题的否定 [对应学生用书P97] 1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 B　解析：根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”． 2．设x∈A，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(　　) A．¬p：∃x∈A，2x∈B B．¬p：∃x∉A，2x∈B C．¬p：∃x∈A，2x∉B D．¬p：∀x∉A，2x∉B C　解析：p是一个全称量词命题，故¬p为“∃x∈A，2x∉B”． 3．(多选题)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2－x＋＜0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 AC　解析：命题的否定是全称量词命题，即该命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即该命题为假命题．又D为真命题，故排除D. 4．命题“∃x，y<0，x2＋y2≥2xy”的否定为____________． ∀x，y<0，x2＋y2<2xy　解析：命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题．否定为：∀x，y<0，x2＋y2<2xy. 5．(多空题)命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数． (1)命题p的否定是________________． (2)当a，b满足条件________时，命题p的否定为真． (1)对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0　(2)b<a　 解析：(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集为R. 通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b<a. 6．判断下列命题的真假，并写出它们的否定： (1)∃x，y∈Z，3x－4y＝20； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身． 解：(1)真命题，否定为：∀x，y∈Z，3x－4y≠20； (2)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解； (3)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身． 7．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根； (2)r：有些素数是奇数； (3)s：∃x∈R，|x|>0. 解：(1)“¬q”：∃x∈R，x是5x－12＝0的根．它是真命题． (2)“¬r”：每一个素数都不是奇数．它是假命题． (3)“¬s”：∀x∈R，|x|≤0.它是假命题． 8．命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是(　　) A．所有能被2整除的整数都是奇数 B．所有不能被2整除的整数都不是奇数 C．存在一个能被2整除的整数是奇数 D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数 D　解析：命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”． 9．若命题“∃x<2 022，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是______________． [2 022，＋∞)　解析：由于命题“∃x<2 022，x>a”是假命题，因此其否定命题“∀x<2 022，x≤a”是真命题．所以a≥2 022. 10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0； (3)有些三角形的三个内角都为60°； (4)每个三角形至少有两个锐角； (5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线． 解：(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除． (2)是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0. (3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角都不为60°. (4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角． (5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线． 11．(拓广探索) 已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知该命题的否定是真命题． 事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立； 当a≠0时，借助二次函数的图像，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0