单元素养强化练(二) 等式与不等式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

单元素养强化练(二)　等式与不等式 [对应学生用书P149] 1．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝(　　) A．{x|－1＜x＜3}　　　　 B．{x|－1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} A　解析：A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}． 2．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞ab C．若a＞b＞0，则ab＞b2 D．若|a|＞|b|，则a2＞b2 CD　解析：当c＝0时，选项A中的结论不成立；当a≤0时，选项B中的结论不成立；因为b＞0，a＞b，所以ab＞bb＝b2，选项C中的结论正确；因为|a|＞|b|≥0，所以|a|2＞|b|2，即a2＞b2，选项D中的结论正确． 3．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． A　解析：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝. 4．(多选题)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是(　　) A．ab≤1 B．＋≤ C．a2＋b2≥2 D．＋≥2 ACD　解析：因为a＞0，b＞0，a＋b＝2， 所以a＋b＝2≥2，即≤1，即ab≤1，故A正确； (＋)2＝a＋b＋2≤2(a＋b)＝4， 故＋≤2，故B错误； a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥4－2＝2，故C正确； ＋＝(＋)(a＋b)＝1＋(＋)≥1＋×2＝2，故D正确． 5．已知a＞0，b＞0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 C　解析：因为2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54(当且仅当a＝b时，取等号).所以9m≤54，即m≤6. 6．(多空题)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为______________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________． 8(x＋19)＞2 200　＞9　解析：由题意知，汽车原来每天行驶x km，8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km, 则原来行驶8天的路程就要用9天多， 即＞9. 7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________． (－∞，2]∪[4，＋∞)　解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2. 8．若实数a、b满足＋＝，则ab的最小值为________． 2　解析：因为＋＝，所以a＞0，b＞0，所以＝＋≥2 ＝2，所以ab≥2，(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2. 9．当x＞3时，求的取值范围． 解：因为x＞3，所以x－3＞0. 所以＝＝2(x－3)＋＋12≥2 ＋12＝24. 当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，等号成立． 所以的取值范围为[24，＋∞). 10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c＞＋＋. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0. 所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． 所以a＋b＋c＞＋＋. 11．已知：a，b，c∈(0，＋∞). 求证：··≤. 证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)， 所以a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0， 所以(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc＞0. 所以≤， 即··≤. 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问