模块复习课(五) 指数运算与指数函数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

指数运算应遵循的原则 注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的． [训练1]　计算： 解　原式＝－1＝－49＋－1＝－45. [训练2]　已知10α＝2，10β＝3，求 解　 1．求形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)恒过定点的问题，一般思路为：→→ 2．直线x＝1与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象交点的纵坐标就是底数a的大小，在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴． [训练3]　对a>0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________． (－1，－1)　[y＝ax的图象恒过点(0，1)，y＝ax＋1－2是由y＝ax向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得到，故过点(－1，－1).] [训练4]　已知函数y＝ax＋b的图象经过第一、三、四象限，试确定a，b的取值范围． 解　如图所示，当x＝0时，y<0， ∴a0＋b<0.∴b<－1.显然a>1. ∴a∈(1，＋∞)，b∈(－∞，－1). 两个幂值大小比较的一般方法 (1)同底数的幂，考查指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性． (2)底数、指数各不相同，寻找“中间数”来传递大小关系，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小． [训练5]　比较下列各组数的大小： 解　(1)因为0<<1， 所以y＝()x在R上是减函数． 又0.1<0.2，所以()0.1>()0.2. 1．求形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的单调性的特点 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 2．一般地，在复合函数y＝f(g(x))中，若函数u＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且函数y＝f(u)在区间(g(a)，g(b))或在区间(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x)) 在区间(a，b)上的单调性见下表： u＝g(x) 增 增 减 减 y＝f(u) 增 减 增 减 y＝f(g(x)) 增 减 减 增 由此可得，复合函数单调性的规律是：同增异减． [训练6]　判断f(x)＝的单调性，并求其值域． 解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝()u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，y＝()u在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y＝－2x在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝()u，u∈[－1，＋∞)． ∴0＜()u≤()－1＝3. ∴原函数的值域为(0，3]. 指数函数性质综合问题的求解策略 (1)若奇函数在原点处有定义，则f(0)＝0. (2)研究函数的单调性、奇偶性要树立定义域优先的原则． (3)解答此类问题时可依据所学的定理、定义逐一求解，从而达到各个击破的目的． [训练7]　设a>0，f(x)＝＋在R上满足f(x)＝f(－x). (1)求a的值； (2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (1)解　依题意，对一切x∈R， 有f(x)＝f(－x)， 即＋＝＋aex. 所以(a－)(ex－)＝0对一切x∈R成立，由此可得a－＝0，即a2＝1. 又因为a>0，所以a＝1. (2)证明　由(1)知f(x)＝ex＋. 设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 由x2>x1>0，得x1＋x2>0，ex2－ex1>0，1－ex1＋x2<0. 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$