模块复习课(三) 不等式、一元二次函数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

应用时容易出错的不等式的性质 (1)同向不等式可以相加，即若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；异向不等式可以相减，即若a>b，c<d则a－c>b－d， (2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除，即若a>b>0，c>d>0，则ac>bd； 异向不等式可以相除，但不能相乘， 即若a>b>0，0<c<d，则>. (3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方． 即若a>b>0，则an>bn或>. (4)若ab>0，a>b，则<；若ab<0，a>b，则>. [训练1]　若＜＜0，则下列不等式不正确的是(　　) A．a＋b＜ab　　　　　 B. ＋＞0 C．ab＜b2　　　　　　　 D．a2＞b2 D　[由＜＜0，可得b＜a＜0.] [训练2]　(多选题)如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中一定成立的是(　　) A．ab＞ac　　　　　　　 B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab2　　　　　　　 D．ac(a－c)＜0 ABD　[c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0.对于选项A：⇒ab＞ac，选项A正确．对于选项B：⇒c·(b－a)＞0，选项B正确．对于选项C：⇒cb2≤ab2/⇒cb2＜ab2，选项C不一定成立．对于选项D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，选项D正确．] 利用基本不等式求最值的方法 基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥2(a>0，b>0)解“定积求和，和最小”问题；用ab≤()2解“定和求积，积最大”问题． [训练3]　已知x<，求y＝4x－2＋的最大值． 解　∵x<，∴5－4x>0.∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立．∴当x＝1时，ymax＝1. [训练4]　在下面等号右侧两个分数的分母方框处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数． 解　设＋＝1，a，b∈N＋， ∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)(＋)＝1＋9＋＋≥10＋2＝10＋2×3＝16， 当且仅当＝，即b＝3a时等号成立． 又＋＝1，∴＋＝1.∴a＝4，b＝12. ∴这两个数分别是4，12. 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系．若含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论． [训练5]　在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是(　　) A．0＜x＜2　　　　　　　 B．－2＜x＜1 C．x＜－2或x＞1　　　　　　　 D．－1＜x＜2 B　[根据给出的定义得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0， 所以(x＋2)(x－1)<0. 所以实数x的取值范围是－2＜x＜1.] [训练6]　若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________． 2　[因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}， 所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1. 所以解得] [训练7]　解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0. 解　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a. 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以 (1)当a＜－1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}； (2)当a＝－1时，原不等式的解集为∅； (3)当a＞－1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}． 在实际应用中，经常涉及函数y＝x＋(k>0).一定要注意基本不等式适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证． [训练8]　运货卡车以每小时x km的速度匀速行驶130 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h).假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油(2＋) L，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解　(1)设所用时间为t＝ h，y＝×6×(2＋)＋14×，x∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100](或y＝＋x，x∈[50，100])． (2)由(1)知，y＝＋x≥，当且仅当＝x，即x＝2时，等号成立． 故当x＝2 km/h，这次行车的总费用最低，最低费用为 元． 学科网（北京）股份有限公司 $$