周周练4 章末检测——预备知识-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

周周练4　章末检测——预备知识 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5} 解析：选B.因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，所以∁UB＝{2，4}，A∩(∁UB)＝{2}．故选B. 2．命题“∃x∈R，x3≥2x＋3”的否定是(　　) A．∃x∈R，x3<2x＋3 B．∀x∈R，x3≥2x＋3 C．∀x∉R，x3<2x＋3 D．∀x∈R，x3<2x＋3 解析：选D.命题“∃x∈R，x3≥2x＋3”的否定是“∀x∈R，x3<2x＋3”．故选D. 3．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是(　　) A．M∩N＝∅ B．MN C．NM D．M＝N 解析：选C.M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}， N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}， 因为2k＋1表示所有奇数，k＋2表示所有整数，所以NM.故选C. 4．若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由不等式(a－b)a2<0， 可得a－b<0，可得a<b，即充分性成立； 反之：由a<b，可得a－b<0，又因为a2≥0，所以(a－b)a2≤0，所以必要性不成立， 所以“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．故选A. 5．若x>1，则y＝有(　　) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 解析：选C.因为x>1，所以x－1>0， 所以y＝＝＝x－1＋≥2＝2， 当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立， 所以y＝有最小值2，无最大值．故选C. 6．若∃x0∈，使得3x－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ可能取值是(　　) A．3 B．2 C．4 D．5 解析：选B.由题意得∀x∈，3x2－λx＋1≥0成立是真命题， 故3x＋≥λ在上恒成立， 由基本不等式得3x＋≥2＝2，当且仅当3x＝， 即x＝∈时，等号成立，故λ≤2.故选B. 7．若存在x∈，使不等式x2－ax＋1≥0成立，则实数a取值范围是(　　) A．(－∞，2] B． C． D． 解析：选C.令y＝x2－ax＋1，对称轴为直线x＝， 若存在x∈， 使不等式x2－ax＋1≥0成立， 等价于ymax≥0，x∈， 当≤时，即a≤时， ymax＝10－3a≥0，解得a≤， 因为∩ ＝， 所以a∈； 当>时，即a>时，ymax＝－≥0，解得a≤， ∩＝∅， 因为∪∅＝， 所以a∈.故选C. 8．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A＝{x|0<Δx<2}，B＝{x|－3≤x≤5}，C＝，然后他们三人各用一句话来正确的描述“Δ”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件．则“Δ”中的数字可以是(　　) A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 解析：选C.因为此数为小于5的正整数，故A＝{x|0<Δx<2}＝，因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集，故>且≤5，解得≤Δ<3， 故“Δ”中的数字可以是1或2. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是(　　) A．ad>bc B．＋<0 C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c) 解析：选BCD.对于A，因为a>0>b，c<d<0，则ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误； 对于B，因为0>b>－a，所以a>－b>0， 因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以－ac>－b·(－d)＝bd，则ac＋bd<0，cd>0， 所以＋＝<0，故B正确； 对于C，因为c<d，则－c>－d，又a>b，则a－c>b－d，故C正确； 对于D，因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确．故选BCD. 10．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c<2ax的解集为P，实数m∈P，则m的值可以是(　　) A．－1 B．1 C．3 D．5 解析：选AD.因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a<0，所以－＝－1＋2＝1，＝(－1)×2＝－2，由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c<2ax，得ax2－(2a－b)x＋a－b＋c<0，设ax2－(2a－b)x＋a－b＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则x1＋x2＝＝2－＝2＋1＝3　①，x1x2＝＝1－＋＝1＋1－2＝0　②，联立①②解得因为a<0，所以ax2－(2a－b)x＋a－b＋c<0的解集为{x|x<0，或x>3}，即不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c<2ax的解集为{x|x<0，或x>3}．故选AD. 11．用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义A*B＝已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，B＝{x∈R|(x2＋ax)·(x2＋ax＋1)＝0}，则下面结论正确的是(　　) A．∃a∈R，C(B)＝3 B．∀a∈R，C(B)≥2 C．“a＝0”是“A*B＝1”的充分不必要条件 D．若S＝{a∈R|A*B＝1}，则C(S)＝3 解析：选ACD.对于A，当a＝2时，B＝{－2，－1，0}，此时C(B)＝3，故A正确； 对于B，当a＝0时，B＝{0}，此时C(B)＝1，故B不正确； 对于C，当a＝0时，B＝{0}，则C(B)＝1，A＝{－1，0}，则C(A)＝2，所以A*B＝1，充分性成立； 当A*B＝1时，因为C(A)＝2，所以C(B)＝1或C(B)＝3，若C(B)＝1， 则解得a＝0，若C(B)＝3，因为方程x2＋ax＝0的两个根x1＝0和x2＝－a都不是方程x2＋ax＋1＝0的根，所以需满足解得a＝±2，必要性不成立，所以“a＝0”是“A*B＝1”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为C(A)＝2，A*B＝1，则C(B)＝1或C(B)＝3，由C可知a＝0或a＝±2，所以S＝{－2，0，2}，所以C(S)＝3，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．已知集合P＝{x|5x－x2>4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，则x∈P是x∈S的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 解析：P＝{x|5x－x2>4}＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}， 因为x∈P是x∈S的充分不必要条件，所以PS， 则(等号不同时成立)， 解得m≥3. 故实数m的取值范围为[3，＋∞). 答案：[3，＋∞) 13．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为__________吨． 解析：由题意知平均处理成本为＝＝＋－300，其中300≤x≤600，又＋－300≥2－300＝400－300＝100，当且仅当＝，即x＝400时，等号成立．因为400∈[300，600]，所以当x＝400时，平均处理成本最低． 答案：400 14．若x1，x2，x3，x4均为正实数，则x1＋＋＋＋的最小值为________． 解析： x1＋＋＋＋＝＋＋＋＋x1≥2＋＋＋x1＝＋＋＋x1≥2＋＋x1＝＋＋x1≥2＋x1＝＋x1≥2＝4， 当且仅当＝xi(i＝1，2，3，4)， 即x1＝x2＝x3＝x4＝2时，等号成立， 所以x1＋＋＋＋的最小值为4. 答案：4 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)设全集U＝R，已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|(4－x)(x－1)≤0}． (1)若a＝4，求A∪B；(6分) (2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．(7分) 解：(1)当a＝4时，A＝{x||x－4|≤1}, 所以－1≤x－4≤1，即3≤x≤5， 即A＝{x|3≤x≤5}． 又B＝{x|(4－x)(x－1)≤0}＝{x|x≤1或x≥4}， 所以A∪B＝{x|x≤1或x≥3}． (2)已知A＝{x||x－a|≤1}＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}， 由(1)知B＝{x|x≤1或x≥4}， 若A∩B＝A，则A⊆B， 所以1＋a≤1或－1＋a≥4， 解得a≤0或a≥5， 故实数a的取值范围为(－∞，0]∪[5，＋∞). 16．(本小题满分15分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(1，0)和(2，0)，与y轴交于点(0，2). (1)求二次函数的解析式；(7分) (2)当x∈[1，＋∞)时，y≤2x2－(t＋3)x＋6恒成立，求实数t的取值范围．(8分) 解：(1)由题意得 解得 所以二次函数的解析式为y＝x2－3x＋2. (2)因为当x∈[1，＋∞)时，y≤2x2－(t＋3)x＋6恒成立，所以t≤＝x＋对任意x∈[1，＋∞)恒成立， 因为x＋≥2＝4， 当且仅当x＝2时取等号，所以t≤4. 所以实数t的取值范围是(－∞，4]. 17．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|1≤x≤8}． (1)若A∩B＝{x|1≤x≤4}，求实数a的值；(7分) (2)若A≠∅，且“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．(8分) 解：(1)因为B＝{x|1≤x≤8}，A∩B＝{x|1≤x≤4}，所以解得a＝2. (2)因为A≠∅，所以2＋a≥2－a，即a≥0. 因为“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件， 所以AB，所以易知两个等号不同时成立，解得a≤1. 因此，实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}． 18．(本小题满分17分)某企业2025年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用x(x∈N＋)年后该设备的维修保养费用为x2＋4x万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式；(8分) (2)求该设备的年平均盈利额的最大值(年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数).(9分) 解：(1)根据题意，y＝30x－64－(x2＋4x)＝－x2＋26x－64， 故y关于x的函数关系式为y＝－x2＋26x－64(x∈N＋). (2)由(1)知盈利总额为y＝－x2＋26x－64(x∈N＋)， 则年平均盈利额为f(x)＝ ＝26－， 因为x＋≥2＝16， 当且仅当x＝8时，等号成立， 所以有f(x)≤26－16＝10， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元． 19．(本小题满分17分)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有：A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}．据此，试回答下列问题： (1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；(3分)　 (2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B；(4分) (3)已知A中有3个元素，B中有4个元素，试确定A×B有几个元素．(10分) 解：(1)C×D＝{(a，1)，(a，2)，(a，3)}． (2)因为A×B＝{(1，2)，(2，2)}，所以A＝{1，2}，B＝{2}． (3)从以上解题过程可以看出，A×B中元素的个数与集合A和集合B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与集合B中的每一个元素对应结合，得到集合A×B中的一个新元素，若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A×B中的元素应为(m×n)个，所以若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则集合A×B中有3×4＝12个元素． 学科网（北京）股份有限公司 $