模块复习课(七) 函数应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

函数的零点及判断其个数的方法 (1)方程的解与函数的零点之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断；二是判断区间(a, b)上是否有零点，可应用f(a)·f(b)与0的关系判断． [提醒]　函数的零点是一个实数而非一个点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标 [训练1]　设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在[－1, 1]内(　　) A．可能有3个解　　　　　　　 B．可能有2个解 C．有唯一解 　　　　　　　 D．没有解 C　[由于f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f(－)·f()<0，所以f(x)在(－，)上有唯一零点，即方程f(x)＝0在[－1，1]内有唯一解．] [训练2]　(多选题)设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m可能等于(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3　　　　 D．4 BCD　[在同一平面直角坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如右图所示．可知方程解的个数为0，2，3或4，不可能有1个解． ] 1．利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，转化为求函数的零点． (2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1). (3)利用二分法求函数的零点． (4)归纳结论． 2．使用二分法的注意事项 (1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小． (2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求． (3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x) 在(a，b)内的不变号零点，不能用二分法求得． [训练3]　若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，f(1.438)＝0.165，则方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精确度为0.1)(　　) A．1.2　　　　　　　 B．1.35 C．1.43　　　　　　　 D．1.5 C　[因为f(1.375)·f(1.438)<0，且|1.438－1.375|＝0.063<0.1，所以可把区间(1.375，1.438)内任一值作为方程的近似解，符合题意的为1.43.] [训练4]　利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 x 2.2 2.6 3.0 3.4 … y＝2x 4.595 6.063 8.0 10.556 … y＝x2 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的(　　) A．(0.6，1.0)　　　　　　　 B．(1.4，1.8) C．(1.8，2.2)　　　　　　　 D．(2.6，3.0) C　[设f(x)＝2x－x2.由f(0.6)＝1.516－0.36>0，f(1.0)＝2.0－1.0>0，可排除A；由f(1.4)＝2.639－1.96>0，f(1.8)＝3.482－3.24>0，可排除B；由f(1.8)＝3.482－3.24>0，f(2.2)＝4.595－4.84<0，可确定方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8，2.2)内．] 1．建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 (1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示． (2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解． 2．建模的三个原则 (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果． (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题．