6.4.2 分层随机抽样的均值与方差（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

4．2　分层随机抽样的均值与方差 课程内容标准 学科素养凝练 1.会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系． 2．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差． 通过对分层随机抽样中均值与方差的学习，达成数据分析、逻辑推理、数学运算的核心素养． 　一般地，将样本a1，a2，…，am和样本b1，b2，…，bn合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为 ＝ ·＋·. 当已知上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为1和2时，可得这个新样本的平均数为·1＋·2. 记w1＝，w2＝，则这个新样本的平均数为w11＋w22，其中w1，w2称为权重． 一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为1，2，…，n和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w11＋w22＋…＋wnn. 为了简化表示，引进求和符号，记作w11＋w22＋…＋wn n＝． 设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝i[s＋(i－)2]，其中为这个样本的平均数．当n＝2时，记w1＝，w2＝，则s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]＝[s＋()2(1－2)2]＋[s＋()2(2－1)2]＝[ms＋ns＋·(1－2)2]. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)在分层随机抽样中，我们都用样本平均数估计总体平均数．(　√　) (2)在分层随机抽样中，可以利用不同层的平均数与方差计算样本的方差．(　×　) 2．在某分层随机抽样中，有关数据如下： 样本量 平均数 第1层 45 4 第2层 35 8 此样本的平均数为________． 5．75　[＝×4＋×8＝5.75.] 3．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班有50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分． 85　 [由题意得该校数学建模兴趣班的平均成绩是＝85(分).] 某地区有居民600户，其中普通家庭450户、高收入家庭150户．为了调查该地区居民奶制品月消费支出，决定采用分层随机抽样的方法，按普通家庭、高收入家庭进行分层，得到普通家庭、高收入家庭的奶制品平均月消费支出分别为40元和90元． (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为60，那么在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了多少户？在这种情况下，请估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出． (2)如果从普通家庭、高收入家庭中抽取的样本容量分别为30和30，那么在这种情况下，抽取的这60户居民奶制品的平均月消费支出是多少？用这60户居民奶制品的平均月消费支出估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出合理吗？如果不合理，那该怎样估计更合理？ 解　(1)设在普通家庭、高收入家庭中分别抽取m户、n户，则＝＝，解得m＝45，n＝15.样本平均数＝×40＋×90＝52.5(元).在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数，即在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了45户、15户，估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出为52.5元． (2)抽取的这60户居民奶制品的平均月消费支出是×40＋×90＝65(元)，因为在该地区居民中，普通家庭户数是高收入家庭户数的3倍，而抽取的普通家庭的样本容量与高收入家庭的样本容量相等，所以用这60户居民奶制品的平均月消费支出估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出不合理．应该用抽取的普通家庭奶制品的平均月消费支出40元估计该地区全体普通家庭奶制品的平均月消费支出，用抽取的高收入家庭奶制品的平均月消费支出90元估计该地区全体高收入家庭奶制品的平均月消费支出，得到该地区全体居民奶制品的平均月消费支出为×40＋×90＝52.5(元).这样估计较合理． [方法总结]　在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数＝ 1＋ 2估计总体平均数. [训练1]　高一年级有男生600人，女生400人，小丽按男生、女生进行分层随机抽样，得到男生、女生的平均身高分别为170 cm和162 cm，如果在各层中按比例分配样本，样本容量为50，那么男生、女生各抽取了多少人？在这种情况下试估计高一年级全体学生的平均身高． 解　男生样本容量＝×50＝30， 女生样本容量＝×50＝20， ∴样本的平均数＝＝166.8(cm). ∴高一年级全体学生的平均身高估计为166.8 cm. 在对某中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别是170.6和12.59；抽取了女生27人，其平均数和