6.4.1 样本的数字特征（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§4　用样本估计总体的数字特征 4．1　样本的数字特征 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)和离散趋势参数(极差、方差、标准差). 2．会求样本的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等，并理解它们的意义和作用． 3. 理解集中趋势参数和离散趋势参数的统计意义． 　　通过对平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的学习，强化数学抽象、数学运算的核心素养． 　(1)平均数：一组数据的平均值． (2)中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是一样的． (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据． (4)极差：数据中最大值和最小值的差，它计算简单，但没有充分利用其他数据． (5)方差：刻画的是数据偏离平均数的离散程度，由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位. 为此，计算方差的算术平方根，得 s＝＝ ， 称之为标准差． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)当样本中的数据都增加相同的量时，平均数不变．(　×　) (2)一组样本数据的众数只有一个．(　×　) (3)样本的中位数可以有两个值．(　×　) (4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．(　√　) (5)数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定．(　×　) (6)样本的标准差和方差都是非负数．(　√　) 2．下列刻画一组数据离散程度的是(　　) A．平均数　　　　　　　　　 B．方差 C．中位数　　　　　　　 D．众数 B　[方差能够刻画一组数据的离散程度．] 3．一组数据：85，88，73，88，79，85，其众数是(　　) A．88　　　　　　　 B．73 C．88，85　　　　　　　 D．85 C　[该组数据有两个众数，它们是88，85.] 4．已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的平均数是_______． 3　[∵数据0，2，x，4，5的众数是4，∴x＝4. 这组数据为0，2，4，4，5， ∴平均数为＝3.] 5．如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数为7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是________． 8　[∵＝7， ∴ ＝＋1＝7＋1＝8. 即x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数为8.] [知能解读]　众数、中位数、平均数的比较 名称 优点 缺点 众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征 中位数 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感 平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 某学校对高一年级经过初步比较后，决定从高一年级(1)，(4)，(8)班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项综合素质考评的得分表：(以分为单位，每项满分为10分) 班级 行为规范 学习成绩 校运动会 艺术获奖 劳动卫生 高一(1)班 10 10 6 10 7 高一(4)班 10 8 8 9 8 高一(8)班 9 10 9 6 9 请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将它们的得分进行排序． 解　设P1，P4，P8顺次为三个班考评分的平均数；W1，W4，W8顺次为三个班考评分的中位数；Z1，Z4，Z8顺次为三个班考评分的众数． 则P1＝(10＋10＋6＋10＋7)＝8.6(分)， P4＝(10＋8＋8＋9＋8)＝8.6(分)， P8＝(9＋10＋9＋6＋9)＝8.6(分)； W1＝10分，W4＝8分，W8＝9分； Z1＝10分，Z4＝8分，Z8＝9分． ∴平均数不能反映这三个班的考评结果的差异，而用中位数(或众数)能反映差异，且W1>W8>W4(或Z1>Z8>Z4). [方法总结]　平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算． [训练1]　某工厂人员及周工资构成如下表： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 周工资/元 2 200 1 250 1 220