5.1.2 利用二分法求方程的近似解（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．2　利用二分法求方程的近似解 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解二分法求方程近似解的原理和步骤． 2．能根据具体的函数，借助学习工具，用二分法求出方程的近似解． 3．知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想． 通过对用二分法求方程的近似解的学习，提升逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养． 1．方程的近似解：设x ∧是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足，就称x0是满足精确度ε的近似解． 2．二分法：对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a, b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线， f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. [注意]　(1)“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间； (2)新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　×　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　×　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　×　) (4)只有求函数的零点时才用到二分法．(　×　) 2．用二分法求函数f(x)＝log2x－的零点时，初始区间可选为(　C　) A．(0，1)　　　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3)　　　　　　　 D．(3，4) 3．(多选题)下列图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的是(　BCD　) 　 A　　　　　B　　　　　 C　　　　　　 D 4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)<0，取区间[2，3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)·f(3)>0，此时零点x0所在的区间是__(2，2.5)__． [知能解读]　二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． (多选题)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的是(　　) ACD 　[能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，图象要穿过x轴．只有选项B中图象不穿过x轴．] [方法总结]　用二分法求函数的零点近似值仅对函数的变号零点适用，即条件f(a)·f(b)<0是必不可少的，对函数的不变号零点不适用． [训练1]　已知函数f(x)的图象如下图所示，其中零点的个数与可以用二分法求对应方程的近似解的个数分别为(　　) A．4, 4　　　　　　　　 B．3, 4 C．5, 4　　　　　　　 D．4, 3 D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求对应方程的近似解的个数为3.] 利用二分法求方程f(x)＝0在[0，4]上的近似解时，最多经过________次计算，精确度可以达到0.001. 12　[初始区间是[0，4]，精确度要求是0.001，需要计算的次数n满足<0.001，即2n>4 000，而210＝1 024，211＝2 048，212＝4 096>4 000，故需要计算的次数是12.] [方法总结]　精确度ε与等分区间次数之间的关系 若初始区间选定为(a，b)，则区间长度为b－a.等分1次，区间长度变为；等分2次，区间长度变为……等分n次，区间长度变为.要想达到精确度ε，只需满足<ε⇔n>log2. [训练2]　当用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是__________． <0.001　[设至少需要计算n次，则n满足<0.001.故结束计算的条件是<0.001.] [知能解读]　用二分法求方程的近似解应明确两点 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解． (2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解． 求方程x2－5＝0的负实数根(精确度为0.1). 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求方程近似解． 第二步，精读题目挖已知条件：方程为x2－5＝0，负实数根． 第三步，建立联系寻解题思路：结合函数零点存在定理与二分法计算求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　令f(x)＝x2－5，则函数f(x)的零点即为方程