5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§1　方程解的存在性及方程的近似解 1．1　利用函数性质判定方程解的存在性 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 通过对函数的零点与方程的解的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 　使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 　若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a, b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a, b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)所有函数都有零点．(　×　) (2)若方程f(x)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1, 0)，(x2, 0).(　×　) (3)函数f(x)＝x－只有一个零点．(　×　) (4)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内仅有一个零点．(　×　) 2．(教材P130练习3改编)方程x3－3x－3＝0的解所在区间是(　D　) A．(－1，0)　　 B．(0，1)　　 C．(1，2)　　 D．(2，3) 3．函数f(x)＝2 023x－2 022的零点是(　D　) A．(，0)　　　　　　　 B．2 023 C．－2 022 D. 4．若方程x＋＝0(a∈R)在区间(1, 2)上有解，则a的值可能是(　　) A．－2　　　　　　　 B．0 C．1　　　　　　　 D．3 A　[令f(x)＝x＋(a∈R)，则其图象在(1，2)上是连续不断的．逐个代入选项验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0，故f(x)在区间(1，2)上有零点，即方程f(x)＝0在区间(1，2)上有解．同理，验证知其他选项不符合．] [知能解读]　确定方程的解所在区间的方法 确定方程的解所在的区间时，通常利用零点存在定理，转化为判断哪个区间两个端点对应的函数值的符号相反．注意：在函数图象连续的情况下，f(a)·f(b)＜0，能判断函数y＝f(x)在区间(a, b)内有零点，即方程f(x)＝0有解，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)>0，却不能判断函数y＝f(x)在区间(a, b)内无零点，即不能判定方程f(x)＝0无解． (1)方程ln x－＝0的解所在的大致区间是(　　) A．(1，2)　　　　　　　 B．(2，3) C．(1，)和(3，4)　　　　　　　 D．(e，＋∞) B　[令f(x)＝ln x－. ∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0， 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴在(1，2)内f(x)无零点，即方程f(x)＝0在(1，2)内无解，排除选项A. 又f(3)＝ln 3－＞0， ∴f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在(2，3)内有零点， 即方程f(x)＝0在(2，3)内有解．] (2)若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间(　　) A．(－2，－1)　　　　　　　 B．(－1，0) C．(0，1)　　　　　　　 D．(1，2) C　[构造函数f(x)＝ex＋x－2，则f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1>0.函数f(x)显然是单调函数，因此且只有一个零点，且函数f(x)的零点在区间(0，1)上，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0，1)上．] [变式1]　将本例(1)改为：若方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(k，k＋1)，且k∈Z，则k＝______． 2　[令f(x)＝log3x＋x－3， 则f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0.∴f(2)·f(3)＜0. 由零点存在定理得f(x)的零点所在区间为(2，3)， ∴原方程的解所在区间是(2，3).∴k＝2.] [变式2]　将本例(2)改为：若方程ex＋4x＋a＝0的解所在的区间为(0，1)，则实数a的取值范围是____________． (－e－4，－1)　[∵函数f(x)＝ex＋4x＋a为单调递增函数，又其零点所在的区间为(0，1)， ∴解得－e－4<a<－1.] [变式3]　将本例改为：已知函数f(x)＝3x2－5x＋a. (1)若方程f(x)＝0有两个解，求实数a的取值范围． (2)若方程f(x)＝0的一个解在(－2，0)内，另一个解在(1，3)内，求实数a的取值范围． 解　 (1)由题意得Δ＝25－4×3×a>0，解得a<. 所以a的取值范围是(－∞，)