4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课程内容标准 学科素养凝练 1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数、幂函数、正比例函数增长的差异． 2．结合实例，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 通过对三种不同函数增长差异的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logbx(b>1)，y＝xc(x＞0，c>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上．随着x的增大，y＝ax的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝xc的增长速度，而y＝logbx的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logbx<xc<ax. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(　√　) (2)增长速度越来越快的一定是指数函数模型．(　×　) (3)因为指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1).(　×　) 2．当x>0时，函数y1＝2x与y2＝x2的图象的交点个数是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2　　　　　　　 D．3 C　[当x＝2或x＝4时，y1＝y2，当x>4时，y1>y2，故交点个数是2.] 3．下列函数中，随着x的增大而增加速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　　　　 B．y＝100x C．y＝x100　　　　　　　 D．y＝100×2x A　[选项A与选项D都是指数型函数， ∴增加速度快．∴排除选项B，C. 又e>2，故选A.] 4．函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是______________． y＝x2　[作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得．] 5．设f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为________． 3　[当x≤1时，因为f(x)＝2－x＝＝2－2， 所以x＝2，与x≤1矛盾(舍去). 当x>1时，因为f(x)＝log81x＝， 所以x＝＝3，满足x>1.所以x＝3.] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如下图所示．设两个函数的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数． (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 023)，g(2 023)的大小． 解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3， C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)， f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， ∴1<x1<2，9<x2<10. ∴x1<6<x2＜2 023. 从图象上可以看出， 当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)， ∴f(2 023)>g(2 023). 又g(2 023)>g(6)， ∴f(2 023)>g(2 023)>g(6)>f(6). [方法总结]　判断函数的增长速度：一方面，可从x增加相同量时，函数值的增长量的变化判断；另一方面，可从函数图象的变化判断，图象越陡，增长越快． [训练1]　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如右图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数． (2)以两个图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较． 解　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当0<x<x1时，g(x)>f(x)； 当x1<x<x2时，f(x)>g(x)； 当x>x2时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x). 某种产品1月、2月、3月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y和月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数y＝ax2＋bx＋c或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数，a≠0，b>0且b≠1). 已知4月该产品的产量为1.37万件，问用上述哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：指出模拟较好的函数． 第二步，精读题目挖已知条件：某种产品1月、2月、3月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，以及可选用的函数模型为y＝ax2＋bx＋c和y＝a·bx＋c. 第三步，建立联系寻解题思路：利用前三组数据分别求出函数解析式，再利用第四组数据判断． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)若模拟函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由条件可得 解得 则函数为y＝－0.05x