4.3.2 对数函数y=log2x的图象和性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

3．2　对数函数y＝log2x的图象和性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握对数函数y＝log2x的图象和性质． 2．能利用对数函数y＝log2x的图象和性质解决相关问题． 通过对对函数y＝log2x的图象和性质的学习及应用，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 对数函数y＝log2x的图象和性质 1．对数函数y＝log2x图象的作法 方法一：描点法． 方法二：由指数函数的图象得到对数函数的图象． 2．对数函数y＝log2x图象的特点 函数y＝log2x的图象位于y轴的右边；从靠近y轴最下端的位置逐渐上升，过点(1，0)，继续上升，函数值越来越大，直至无穷. 3．对数函数y＝log2x的性质 函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且值域为R． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．(　√　) (2)若log2m＜log2n，则m＜n.(　√　) 2．函数y＝log2x的图象大致是(　　) C　[y＝log2x的图象位于y轴右边，过点(1，0)，y随x的增大而增大．] 3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象之间的关系是(　　) A．关于y轴对称　　　 B．关于x轴对称 C．关于原点对称　　　　　　　 D．关于直线y＝x对称 D　[因为y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称．] 4．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为____________． (－1, ＋∞)　[由x＋1>0得x>－1， 故f(x)的定义域为(－1，＋∞).] 如果－log2x<－log2y<0，那么(　　) A．y<x<1　　　　　　　　　 B．x<y<1 C．1<x<y　　　　　　　 D．1<y<x D　[∵－log2x<－log2y<0， ∴log2x>log2y>0. 又y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且log21＝0，∴x>y>1.] [方法总结]　解决此类问题，主要根据函数的单调性来判断．比较与函数y＝log2x有关的数值大小时，还可以通过引入0，由log21＝0，与log21比较大小，从而得出结论． [训练1]　已知log2m<0<log2n，求m，n满足的关系． 解　∵log2m<log21<log2n，且y＝log2x在区间(0，＋∞)上单调递增，∴0<m<1<n. (1)已知函数f(x)＝log2x，其中|f(x)|≥1，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，) B．(0，]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞) D．(－∞，)∪[2，＋∞) B　[因为|f(x)|≥1， 所以log2x≥1或log2x≤－1. 由于log2x在(0，＋∞)上是增函数， 因此x≥2或0＜x≤. 所以x的取值范围是(0，]∪[2，＋∞).] (2)函数y＝log2x的定义域是[1，64)，则值域是(　　) A．R　　　　　　　 B．[0，＋∞) C．[0，6)　　　　　　　 D．[0，64) C　[因为y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以当x∈[1，64)时，log21≤log2x<log264.所以y∈[0，6).] [方法总结]　解决此类问题的主要根据是y＝log2x的单调性，即log2M >log2N⇔M >N(M >0，N>0) [训练2]　(1)设函数f(x)＝ 则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A．[－1，2]　　　　　　　 B．[0，2] C．[1，＋∞)　　　　　　　 D．[0，＋∞) D　[因为f(x)≤2，所以或解得x≥0.] (2)解不等式：log2x<log23. 解　 ∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， ∴由log2x<log23，得0<x<3. ∴该不等式的解集为(0，3). 根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题． (1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：(1)求a的取值范围；(2)求函数在闭区间上的最值． 第二步，精读题目挖已知条件：(1)已知函数值的大小f(a)＞f(2)；(2)函数为y＝log2(2x－1)，且x∈[2，14]. 第三步，建立联系寻解题思路：(1)借助函数f(x)＝log2x的图象及单调性求解；(2)将真数“2x－1”作为一个整体求出其取值范围，再利用函数的单调性求最值． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　函数y＝log2x的图象如图所示． (1)y＝log2x是增函数，若f(a)＞f(2)，即log2a＞log22，则a＞2. 所以a的取值范围为(2，＋∞). (2)