4.3.1 对数函数的概念（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§3　对数函数 3．1　对数函数的概念 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过实例，理解对数函数的概念． 2．会求对数函数的定义域、函数值． 通过对对数函数概念的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．对数函数的概念 给定正数a，且a≠1，指数函数y＝ax是定义在R上、值域为(0，＋∞)的单调函数，所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax. 由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作x＝logay. 习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，一般将对数函数写成y＝logax(a>0，且a≠1)，其中a称为底数． 2．对数函数的基本性质 (1)定义域是(0，＋∞)；(2)图象过定点(1,_0)． 3．两种特殊的对数函数 (1)常用对数函数：以10为底的对数函数，称之为常用对数函数，记作y＝lg_x； (2)自然对数函数：以无理数e为底的对数函数，称之为自然对数函数，记作y＝ln_x． 　习惯上，对数函数表示为y＝logax(a>0，且a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a>0，且a≠1). 因此指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数．即它们互为反函数． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)函数y＝2log2x是对数函数．(　×　) (2)函数y＝3x的反函数是y＝()x.(　×　) (3) 对数函数y＝log2x的定义域为(0，＋∞).(　√　) 2．已知f(x)＝log25x，则f(5)＝________． 3．函数y＝的反函数是____________． y＝()x　[由y＝，得x＝()y， 所以其反函数为y＝()x.] 4．若函数y＝logax的反函数图象过点(2，)，则a＝______． 　[y＝logax的反函数是y＝ax，∴a2＝.又a>0，且a≠1，∴a＝.] [知能解读]　　判定一个函数为对数函数，必须严格符合y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)真数仅有自变量x. 指出下列函数中哪些是对数函数： (1)y＝loga(a＞0，a≠1)； (2)y＝log2x－1； (3)y＝2log7x； (4)y＝logxa(x＞0且x≠1)； (5)y＝log5x. 解　只有(5)为对数函数． (1)中的真数是，而不是x，∴不是对数函数； (2)中对数式后减1，∴不是对数函数； (3)中log7x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数； (4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． [方法总结]　从“三方面”判定一个函数为对数函数 [训练1]　若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________． 4　[由对数函数的定义可知解得a＝4.] 已知f(x)＝log3. (1)求f()，f(－)； (2)求f()＋f(－)； (3)求f(a)＋f(－a)的值，a∈(－1，1). 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求函数值． 第二步，精读题目挖已知条件：函数解析式为f(x)＝log3. 第三步，建立联系寻解题思路：结合对数的运算性质与函数解析式，代入求解． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)f()＝log3＝log3＝－1. f(－)＝log3＝log33＝1. (2)f()＝log3＝log3， f(－)＝log3＝log3， ∴f()＋f(－) ＝log3＋log3＝0. (3)f(a)＋f(－a)＝log3＋log3 ＝log3(·)＝0. [方法总结]　计算对数函数的函数值，主要依据对数的运算性质 [训练2]　已知函数f(x)＝那么f(f())的值为(　　) A．27　　　 B．　　　 C．－27　　　 D．－ B　[f()＝log2＝log22－3＝－3， f(f())＝f(－3)＝3－3＝.] 写出下列函数的反函数： (1)y＝()x；(2)y＝ln x；(3)y＝ (4)y＝0.2x＋1. 解　(1)因为指数函数y＝()x的底数是，所以它的反函数是对数函数 (2)因为对数函数y＝ln x的底数是e，所以它的反函数是指数函数y＝ex. (3)因为对数函数y＝的底数是，所以它的反函数是指数函数y＝()x. (4)因为y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x， x＝log0.2(y－1)，即y＝log0.2(x－1). 又因为函数y＝0.2x＋1的值域是{y|y>1}， 所以y＝log0.2(x－1)的定义域为{x|x>1}， 即函数y＝0.2x＋1的反函数是y＝log0.2(x－1)(x>1).