4.2.1 对数的运算性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§2　对数的运算 2．1　对数的运算性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行化简求值． 2．体会转化思想在对数中的作用． 通过对对数运算性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，那么 (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)log2x2＝2log2x.(　×　) (2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(　×　) (3)logaM·logaN＝loga(M＋N).(　×　) 2．log84＋log82等于(　　) A．log86　　　　　　　 B．8 C．6　　　　　　　 D．1 D　[log84＋log82＝log88＝1.] 3．log510－log52等于(　　) A．log58　　　　　　　 B．lg 5 C．1　　　　　　　 D．2 C　[log510－log52＝log55＝1.] [知能解读]　底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则 对数的化简、求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用方法 ①“收”，将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数． ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差). (3)注意事项 ①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题． ②准确应用如下结论： loga1＝0，logaa＝1，＝N(a＞0，且a≠1，N＞0). 求下列各式的值： (1)lg 52＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)log2 ＋log212－log242； (3)； (4)lg (＋ ). 解　(1)原式＝2lg 5＋lg 2·lg (5×10)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 2·lg 5＋lg 2＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 2·(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝2lg 5＋lg 2＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2. (2)原式＝log2(×12×)＝－. (3)分子＝lg 5·(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2 ＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋3lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＝3， 分母＝(lg 6＋2)－lg ＝lg 6＋2－lg ＝4， ∴原式＝. (4)原式＝lg (＋)2 ＝lg (3＋＋3－＋2)＝lg 10＝. [方法总结]　 (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算． (2)对于含有对数式的多项式运算问题： ①可以将式中真数的积、商、幂、方根化为对数的和、差、积，然后化简求值； ②可以将式中对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． [训练1]　计算： (1)2(lg )2＋lg ·lg 5＋ ； (2)log535＋2log－log5－log514. 解　(1)原式＝lg ·(2lg ＋lg 5)＋＝lg ·(lg 2＋lg 5)＋(1－lg )＝lg ＋1－lg ＝1. (2)原式＝log5＋2log2＝log553－1＝3－1＝2. 用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg (xyz)；(2)lg ；(3)lg ；(4)lg . 解　(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z. (2)lg ＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z. (3)lg ＝lg (xy3)－lg ＝lg x＋3lg y－lg z． (4)lg ＝lg －lg (y2z)＝lg x－2lg y－lg z. [方法总结]　利用对数运算性质对代数式进行恒等变形时，要注意对数有意义的条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．另外注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN [训练2]　已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为(　　) A．a－2　　　　　　　　 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2　　　　　　　 D．3a－a2－1 A　[log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2. ] [训练3]　已知6a＝8.请用a表示下列各式： (1)log68；(2)log62；(3)l