4.1 对数的概念（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§1　对数的概念 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解对数的概念，明确对数与指数的互化关系． 2．掌握对数的基本性质，并能应用性质解决相关问题． 3．了解对数在简化运算中的作用． 通过对对数概念和性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．对数与指数的关系：给定底数后，对数运算是指数运算的逆运算，即 ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1). 3．对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N＞0). 4．两类对数 (1)常用对数：当对数的底数a＝10时，通常称之为常用对数，并将log10N简记为lg_N． (2)自然对数：在科学技术领域，常常使用以无理数e＝2.718 281…为底数的对数，称之为自然对数，并将logeN简记为ln_N． 性质 内容 性质1 负数和0没有对数 性质2 1的对数是0，即loga1＝0(a＞0，且a≠1) 性质3 底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0，且a≠1) 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4．(　×　) (2)对数式log32与log23的意义一样．(　×　) (3)因为1α＝1，所以log11＝α.(　×　) (4) log(－2)(－2)＝1.(　×　) 2．(教材P98练习1改编)把2m＝3改写为对数式是(　B　) A．m＝log32　　　　　　　　 B．m＝log23 C．2＝log3m　　　　　　　 D．2＝logm3 3．lg 7与ln 8的底数分别是(　C　) A．10，10　　　　　　　 B．e，e C．10，e　　　　　　　 D．e，10 4．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是__(1，＋∞)__． [知能解读]　要使对数logaN有意义，必须满足的两个条件 (1)底数大于0且不等于1； (2)真数大于0. 因此求对数中参数的取值范围时，应根据对数中底数和真数应满足的条件列出不等式(组)，解不等式(组)即可． 　求下列各式中x的取值范围． (1)log(2x－1)(x＋2)； (2) (－3x＋8). 解　(1)由题意得解得x>，且x≠1. ∴x的取值范围是(，1)∪(1，＋∞). (2)∵底数x2＋1≠1，∴x≠0. 又∵－3x＋8>0，∴x<. ∴x的取值范围是(－∞，0)∪(0，). [变式]　在本例(2)中，若将底数与真数中的式子互换，即log(－3x＋8)(x2＋1)，则x的取值范围是多少？ 解　∵底数－3x＋8>0，且－3x＋8≠1， ∴x<，且x≠. 又∵x2＋1>0，恒成立， ∴x的取值范围是(－∞，)∪(，). [方法总结]　解决使对数式有意义的题目时，只要满足底数和真数的条件，也就是只有对数式中的底数大于0且不为1，真数大于0，对数式才有意义，注意不要忽略“底数不为1”这一条件，然后解不等式(组)即可． [知能解读]　指数式与对数式互化的解题思路 (1)logaN＝b与ab＝N(a＞0且a≠1，N＞0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系，可以利用其中两个量表示第三个量． (2)对数式与指数式的关系如下图： 　将下列指数式与对数式互化： (5)3－2＝；(6)()－2＝16. 解　(1)∵log216＝4，∴24＝16. (2)∵log27＝－3，∴()－3＝27. (3)∵logx＝6，∴()6＝x. (4)∵43＝64，∴log464＝3. (5)∵3－2＝，∴log3＝－2. (6)∵()－2＝16，∴log16＝－2. [变式]　将本例题设改为“已知loga2＝m，loga3＝n”，则a2m＋n＝________． 12　[由loga2＝m得am＝2，由loga3＝n得an＝3， ∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12．] [方法总结]　 (1)指数与对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，往往利用ax＝N⇔x＝logaN(a＞0，且a≠1)进行相互转化，在解题时要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置． (2)并非任何指数式都可以直接改写为对数式，如(－3)2＝9就不能直接改写为log(－3)9＝2，只有符合a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN. [训练1]　(1)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A．100＝1与lg 1＝0 B．＝与log27＝－3 C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5 B　[由＝知log27＝－.] (2)把下